Em cada item, use o Método da Redução de Ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem homogênea
e fornece uma solução conhecida
A tarefa é encontrar, por Redução de Ordem, uma segunda solução linearmente independente
. Vou listar o que temos de relevante:
- Equação dada e domínio
. - Solução conhecida
. - Pede-se outra solução
tal que formem uma base de soluções.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão
dividindo por
. Assim:
Portanto, no padrão temos
Passo 3
Explicar o Método da Redução de Ordem de forma didática.
Ideia: suponha que existe uma segunda solução
da forma
onde
é uma função a determinar. Diferenciando:
Substituindo na equação padrão
e usando que
satisfaz a equação (ou seja,
), os termos com
cancelam e sobra uma equação de primeira ordem para
:
Escrevendo na forma linear para
:
Solução geral dessa equação é
Note que
, então
Uma forma mais prática (fórmula padrão) que resulta dessa derivação é:
onde
é o coeficiente de
na forma padrão. Vou usar essa fórmula (aqui
é a solução conhecida e
foi dado no Passo 2).
Passo 4
Calcular
com
:
logo
Passo 5
Calcular o integrando
. Primeiro
Então
Passo 6
Integrar o integrando encontrado:
Na fórmula para
podemos tomar uma constante de integração conveniente (constante multiplicativa em
não muda independência linear). Tomando a constante tal que
(ignorando a constante aditiva que apenas gera termo proporcional a
), obtemos
Passo 7
Multiplicar para simplificar
:
Como multiplicar por
não altera o espaço das soluções, podemos escolher como segunda solução a forma mais simples
Passo 8
Verificação rápida de independência linear (aula curta): calcule o Wronskiano
Usando
e
, uma conta direta (coeficientes de
e suas derivadas) dá
logo são linearmente independentes e formam uma base de soluções da equação no domínio dado.