Em cada item, use o Método da Redução de Ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
4 x^{2} y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}+\left(4 x^{2}-1\right) y=0, x>0 ; y_{1}(x)=x^{-\frac{1}{2}} \operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem homogênea
4x^{2}y''+4x y'+(4x^{2}-1)y=0,\quad x>0
e fornece uma solução conhecida
y_{1}(x)=x^{-\frac{1}{2}}\sin x.
A tarefa é encontrar, por Redução de Ordem, uma segunda solução linearmente independente y_{2}(x). Vou listar o que temos de relevante:
  • Equação dada e domínio x>0.
  • Solução conhecida y_{1}(x)=x^{-\frac{1}{2}}\sin x.
  • Pede-se outra solução y_{2} tal que \{y_{1},y_{2}\} formem uma base de soluções.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0 dividindo por 4x^{2}. Assim:
y''+\frac{1}{x}y'+\Bigl(1-\frac{1}{4x^{2}}\Bigr)y=0.
Portanto, no padrão temos
P(x)=\frac{1}{x},\qquad Q(x)=1-\frac{1}{4x^{2}}.

Passo 3

Explicar o Método da Redução de Ordem de forma didática.
Ideia: suponha que existe uma segunda solução y_{2} da forma
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x),
onde v(x) é uma função a determinar. Diferenciando:
y_{2}'=v' y_{1}+v y_{1}',\qquad y_{2}''=v'' y_{1}+2v' y_{1}'+v y_{1}''.
Substituindo na equação padrão y''+P y'+Q y=0 e usando que y_{1} satisfaz a equação (ou seja, y_{1}''+P y_{1}'+Q y_{1}=0), os termos com v cancelam e sobra uma equação de primeira ordem para w=v':
w' y_{1}+(2y_{1}'+P y_{1})w=0.
Escrevendo na forma linear para w:
w'+\Bigl(2\frac{y_{1}'}{y_{1}}+P\Bigr)w=0.
Solução geral dessa equação é
w(x)=C\exp\Bigl(-\int\Bigl(2\frac{y_{1}'}{y_{1}}+P\Bigr)\,dx\Bigr).
Note que w=v', então
v(x)=\int w(x)\,dx.
Uma forma mais prática (fórmula padrão) que resulta dessa derivação é:
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx,
onde P(x) é o coeficiente de y' na forma padrão. Vou usar essa fórmula (aqui y_{1} é a solução conhecida e P foi dado no Passo 2).

Passo 4

Calcular e^{-\int P(x)\,dx} com P(x)=\dfrac{1}{x}:
\int P(x)\,dx=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln x,
logo
e^{-\int P(x)\,dx}=e^{-\ln x}=\frac{1}{x}.

Passo 5

Calcular o integrando \dfrac{e^{-\int P}}{y_{1}^{2}}. Primeiro
y_{1}(x)^{2}=\bigl(x^{-\frac{1}{2}}\sin x\bigr)^{2}=x^{-1}\sin^{2}x.
Então
\frac{e^{-\int P}}{y_{1}^{2}}=\frac{\frac{1}{x}}{x^{-1}\sin^{2}x}=\frac{1}{\sin^{2}x}=\csc^{2}x.

Passo 6

Integrar o integrando encontrado:
\int \csc^{2}x\,dx=-\cot x + C.
Na fórmula para y_{2} podemos tomar uma constante de integração conveniente (constante multiplicativa em y_{2} não muda independência linear). Tomando a constante tal que
\int \frac{e^{-\int P}}{y_{1}^{2}}\,dx=-\cot x
(ignorando a constante aditiva que apenas gera termo proporcional a y_{1}), obtemos
y_{2}(x)=y_{1}(x)\cdot\bigl(-\cot x\bigr).

Passo 7

Multiplicar para simplificar y_{2}:
y_{2}(x)=-x^{-\frac{1}{2}}\sin x\cdot\cot x=-x^{-\frac{1}{2}}\cos x.
Como multiplicar por -1 não altera o espaço das soluções, podemos escolher como segunda solução a forma mais simples
y_{2}(x)=x^{-\frac{1}{2}}\cos x.

Passo 8

Verificação rápida de independência linear (aula curta): calcule o Wronskiano
W(y_{1},y_{2})(x)=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
Usando y_{1}=x^{-\frac{1}{2}}\sin x e y_{2}=x^{-\frac{1}{2}}\cos x, uma conta direta (coeficientes de x^{-\frac{1}{2}} e suas derivadas) dá
W(y_{1},y_{2})(x)=-x^{-1}\neq 0\quad\text{para }x>0,
logo são linearmente independentes e formam uma base de soluções da equação no domínio dado.

Resposta

y_{2}(x)=x^{-\frac{1}{2}}\cos x

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