Em cada item, use o Método da Redução de Ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
16 x^{2} y^{\prime \prime}-(16 x-3) y=0, x>0 ; y_{1}(x)=x^{\frac{1}{4}} e^{2 \sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado fornece a seguinte equação diferencial e uma solução conhecida:
16 x^{2} y''-(16 x-3) y=0,\qquad x>0,
e diz que uma solução conhecida é
y_{1}(x)=x^{\tfrac{1}{4}} e^{2\sqrt{x}}.
A tarefa é: usar o Método da Redução de Ordem para encontrar uma segunda solução linearmente independente de y_{1}. Vou listar o que temos de dados e o que se pede:
  • Equação diferencial dada e domínio: x>0.
  • Solução conhecida: y_{1}(x)=x^{1/4} e^{2\sqrt{x}}.
  • Pedido: encontrar uma segunda solução y_{2}(x) independente de y_{1} usando Redução de Ordem.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão \;y''+P(x)y'+Q(x)y=0\; para identificar P(x) e Q(x). Dividindo a equação por 16x^{2} obtemos
y''-\frac{16x-3}{16x^{2}}\,y=0.
Portanto
P(x)=0,\qquad Q(x)=-\frac{16x-3}{16x^{2}}.
Repare que o coeficiente de y' é zero, o que simplifica bastante a Redução de Ordem.

Passo 3

Explicação do Método da Redução de Ordem (derivação curta e didática).
  • A ideia é procurar uma segunda solução da forma \;y=v(x)\,y_{1}(x)\;, onde v é função a determinar.
  • Calcule as derivadas:
y' = v' y_{1} + v y_{1}',\qquad y'' = v'' y_{1} + 2 v' y_{1}' + v y_{1}''.
  • Substituindo na equação padrão y''+P y'+Q y=0 e usando que y_{1} satisfaz a equação (ou seja y_{1}''+P y_{1}'+Q y_{1}=0), os termos com v cancelam, sobrando uma equação para v:
v'' y_{1} + (2 y_{1}' + P y_{1}) v' = 0.
  • Introduzindo w=v', obtemos uma equação de primeira ordem para w:
w' y_{1} + w(2 y_{1}' + P y_{1}) = 0.
  • Reescrevendo:
\frac{w'}{w} = -\left(\frac{2 y_{1}'}{y_{1}} + P\right).
  • Integrando,
w = C \exp\!\left(-\int P\,dx\right)\,y_{1}^{-2}.
  • Finalmente, v=\int w\,dx e y_{2}=y_{1}v. Há uma forma direta do resultado:
y_{2}=y_{1}\int \frac{e^{-\int P\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx.
Isto é o que chamamos de fórmula de Redução de Ordem. Vou agora aplicar ao caso concreto.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: já vimos que P(x)=0, logo e^{-\int P\,dx}=1. Assim a fórmula simplifica muito para
y_{2}=y_{1}\int \frac{1}{y_{1}^{2}}\,dx.
Portanto precisamos calcular a integral
I(x)=\int \frac{1}{y_{1}^{2}}\,dx.
Com y_{1}(x)=x^{1/4} e^{2\sqrt{x}} temos
y_{1}^{2}=x^{1/2} e^{4\sqrt{x}},
portanto
\frac{1}{y_{1}^{2}}=x^{-1/2} e^{-4\sqrt{x}}.

Passo 5

Calcular a integral I(x)=\int x^{-1/2} e^{-4\sqrt{x}}\,dx. Fazer a substituição natural \;t=\sqrt{x}\; (essa é uma substituição padrão quando aparece \sqrt{x}):
  • Então x=t^{2} e dx=2t\,dt.
  • Também x^{-1/2} = 1/t.
    Substituindo na integral:
I(x)=\int x^{-1/2} e^{-4\sqrt{x}}\,dx = \int \frac{1}{t} e^{-4t}\cdot 2t\,dt = \int 2 e^{-4t}\,dt.
Essa integral é elementar:
\int 2 e^{-4t}\,dt = 2\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)e^{-4t} + C = -\tfrac{1}{2} e^{-4t} + C.
Voltando à variável x (lembre que t=\sqrt{x}):
I(x) = -\tfrac{1}{2} e^{-4\sqrt{x}} + C.

Passo 6

Agora y_{2}=y_{1}\,I(x), ou seja
y_{2}(x)=y_{1}(x)\left(-\tfrac{1}{2} e^{-4\sqrt{x}} + C\right).
O termo constante C multiplica y_{1} e gera apenas uma combinação linear que não dá função nova (é proporcional a y_{1}). Para obter uma segunda solução linearmente independente, escolha a constante que elimine o termo que replica y_{1}. Tomando C=0 (ou simplesmente extraindo o fator não-nulo) obtemos uma solução proporcional a
y_{1}(x)\left(-\tfrac{1}{2} e^{-4\sqrt{x}}\right) = -\tfrac{1}{2}\,x^{\tfrac{1}{4}} e^{2\sqrt{x}} e^{-4\sqrt{x}} = -\tfrac{1}{2}\,x^{\tfrac{1}{4}} e^{-2\sqrt{x}}.
Como multiplicar por constante não altera a independência linear, podemos multiplicar por -2 para simplificar a aparência da solução. Assim uma segunda solução simples é
y_{2}(x)=x^{\tfrac{1}{4}} e^{-2\sqrt{x}}.

Resposta

y_{2}(x)=x^{\tfrac{1}{4}} e^{-2\sqrt{x}}

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