Em cada item, use o Método da Redução de Ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado fornece a seguinte equação diferencial e uma solução conhecida:
e diz que uma solução conhecida é
A tarefa é: usar o Método da Redução de Ordem para encontrar uma segunda solução linearmente independente de
. Vou listar o que temos de dados e o que se pede:
- Equação diferencial dada e domínio:
. - Solução conhecida:
. - Pedido: encontrar uma segunda solução
independente de usando Redução de Ordem.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão
para identificar
e
. Dividindo a equação por
obtemos
Portanto
Repare que o coeficiente de
é zero, o que simplifica bastante a Redução de Ordem.
Passo 3
Explicação do Método da Redução de Ordem (derivação curta e didática).
- A ideia é procurar uma segunda solução da forma
, onde é função a determinar. - Calcule as derivadas:
- Substituindo na equação padrão
e usando que satisfaz a equação (ou seja ), os termos com cancelam, sobrando uma equação para :
- Introduzindo
, obtemos uma equação de primeira ordem para :
- Reescrevendo:
- Integrando,
- Finalmente,
e . Há uma forma direta do resultado:
Isto é o que chamamos de fórmula de Redução de Ordem. Vou agora aplicar ao caso concreto.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: já vimos que
, logo
. Assim a fórmula simplifica muito para
Portanto precisamos calcular a integral
Com
temos
portanto
Passo 5
Calcular a integral
. Fazer a substituição natural
(essa é uma substituição padrão quando aparece
):
- Então
e . - Também
.
Substituindo na integral:
Essa integral é elementar:
Voltando à variável
(lembre que
):
Passo 6
Agora
, ou seja
O termo constante
multiplica
e gera apenas uma combinação linear que não dá função nova (é proporcional a
). Para obter uma segunda solução linearmente independente, escolha a constante que elimine o termo que replica
. Tomando
(ou simplesmente extraindo o fator não-nulo) obtemos uma solução proporcional a
Como multiplicar por constante não altera a independência linear, podemos multiplicar por
para simplificar a aparência da solução. Assim uma segunda solução simples é