Em cada item, determine se o par de funções é linearmente dependente ou linearmente independente.
Passo 1
O enunciado dá duas funções definidas para todo
:
A pergunta é: cada par de funções é linearmente dependente ou linearmente independente?
Passo 2
Definição e ideia prática (explicadinha): duas funções
e
são linearmente dependentes se existem constantes
e
, nem ambas zero, tais que
Para o caso de exatamente duas funções, isso é equivalente a existir um escalar
tal que
ou seja, uma é múltiplo escalar da outra. Se não existe tal escalar (a única solução da combinação linear é
), então são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos testar se existe um escalar
com
. Começando das expressões dadas:
Fatorando
em
:
Mas
é exatamente
. Portanto
Verificação alternativa escrita como combinação linear: tomando
e
,
o que vale para todo
. Assim existem constantes não ambas nulas que tornam a combinação zero.
Passo 4
Interpretação didática final: como
é exatamente o múltiplo escalar
de
, as duas funções não trazem informação nova — uma é redundante em relação à outra. Pelo critério, isso é precisamente o caso de dependência linear.
Resposta
linearmente dependentes