Em cada item, determine se o par de funções é linearmente dependente ou linearmente independente.
\left\{\begin{array}{l}f(x)=3 x-5 \\\ g(x)=9 x-15\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá duas funções definidas para todo x:
f(x)=3x-5, \qquad g(x)=9x-15.
A pergunta é: cada par de funções é linearmente dependente ou linearmente independente?

Passo 2

Definição e ideia prática (explicadinha): duas funções f e g são linearmente dependentes se existem constantes a e b, nem ambas zero, tais que
a\,f(x)+b\,g(x)=0\quad\text{para todo }x.
Para o caso de exatamente duas funções, isso é equivalente a existir um escalar c tal que
g(x)=c\,f(x)\quad\text{para todo }x,
ou seja, uma é múltiplo escalar da outra. Se não existe tal escalar (a única solução da combinação linear é a=b=0), então são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos testar se existe um escalar c com g(x)=c\,f(x). Começando das expressões dadas:
g(x)=9x-15.
Fatorando 3 em g(x):
g(x)=3(3x-5).
Mas 3x-5 é exatamente f(x). Portanto
g(x)=3\,f(x).
Verificação alternativa escrita como combinação linear: tomando a=3 e b=-1,
3f(x)-1\cdot g(x)=3f(x)-g(x)=3(3x-5)-(9x-15)=9x-15-9x+15=0,
o que vale para todo x. Assim existem constantes não ambas nulas que tornam a combinação zero.

Passo 4

Interpretação didática final: como g é exatamente o múltiplo escalar 3 de f, as duas funções não trazem informação nova — uma é redundante em relação à outra. Pelo critério, isso é precisamente o caso de dependência linear.

Resposta

linearmente dependentes

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