Determine o ponto simétrico a P=(1,2,1) em relação à reta descrita parametricamente por Q(t)=(2,-1,3)+t(2,1,4) no plano contendo P e a reta.

Passo 1

O problema pede o ponto simétrico a P =(1,2,1) em relação à reta L dada por Q(t) = (2,−1,3)+t(2,1,4). O conteúdo é geometria analítica em 3D: para refletir P na reta, precisamos projetar P ortogonalmente na reta e, em seguida, usar essa projeção para obter o ponto simétrico.

Passo 2

Seja A =(2,−1,3) um ponto na reta e v =(2,1,4) o vetor diretor. Primeiro calculamos o vetor AP = P - A:
AP = (1-2,;2+1,;1-3) = (-1,;3,;-2)

Passo 3

O parâmetro da projeção t₀ é dado por
t0 = APcdot vvcdot v = (-1)cdot2 + 3cdot1 + (-2)cdot42^2 + 1^2 + 4^2 = -2 + 3 -821 = -tfrac13

Passo 4

O ponto de projeção H na reta é
H = A + t0,v = (2, -1, 3) + (-tfrac13)(2,1,4) = l(2-tfrac23,;-1-tfrac13,;3-tfrac43r) = l(tfrac43,;-tfrac43,;tfrac53r)

Passo 5

O ponto simétrico P’ é obtido refletindo P em H: P' = 2H - P. Assim,
P' = 2l(tfrac43, -tfrac43, tfrac53r) - (1,2,1) = l(tfrac83-1,;-tfrac83-2,;tfrac103-1r) = l(tfrac53,;-tfrac143,;tfrac73r)

Resposta

(5/3, -14/3, 7/3)

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