Seja h(x)=integral5 x-2^x^3+2 sen(t^3+5 t) d t. Determine h^prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada de uma função que é definida por uma integral. A gente vai usar o cálculo diferencial, especificamente a regra de Leibniz para derivar integrais com limites que dependem de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função $ h(x) $:
  • A função dentro da integral é $ f(t) = \sin(t^3 + 5t) $.
  • O limite inferior da integral é $ a(x) = 5x - 2 $.
  • O limite superior da integral é $ b(x) = x^3 + 2 $.

Passo 3

Agora, precisamos derivar esses limites em relação a $ x $:
  • A derivada de $ a(x) $ é $ a’(x) = 5 $.
  • A derivada de $ b(x) $ é $ b’(x) = 3x^2 $.

Passo 4

Vamos aplicar a regra de Leibniz, que diz que a derivada de uma integral com limites variáveis é:
h'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Ou seja, a gente avalia a função $ f(t) $ nos limites $ b(x) $ e $ a(x) $, multiplica pelas derivadas desses limites e subtrai.

Passo 5

Substituindo os valores que temos:
h'(x) = sin( (x^3 + 2)^3 + 5(x^3 + 2) ) cdot 3x^2 - sin( (5x - 2)^3 + 5(5x - 2) ) cdot 5

Resposta

Portanto, a derivada de $ h(x) $ é:
h(x)

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