Seja
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada de uma função que é definida por uma integral. A gente vai usar o cálculo diferencial, especificamente a regra de Leibniz para derivar integrais com limites que dependem de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função $ h(x) $:
- A função dentro da integral é $ f(t) = \sin(t^3 + 5t) $.
- O limite inferior da integral é $ a(x) = 5x - 2 $.
- O limite superior da integral é $ b(x) = x^3 + 2 $.
Passo 3
Agora, precisamos derivar esses limites em relação a $ x $:
- A derivada de $ a(x) $ é $ a’(x) = 5 $.
- A derivada de $ b(x) $ é $ b’(x) = 3x^2 $.
Passo 4
Vamos aplicar a regra de Leibniz, que diz que a derivada de uma integral com limites variáveis é:
Ou seja, a gente avalia a função $ f(t) $ nos limites $ b(x) $ e $ a(x) $, multiplica pelas derivadas desses limites e subtrai.
Passo 5
Substituindo os valores que temos:
Resposta
Portanto, a derivada de $ h(x) $ é: