Em cada item, verificar se as aplicações definidas são homomorfismos. Em caso afirmativo, determine o núcleo.
G é grupo abeliano qualquer e \gamma: \mathrm{G} \longrightarrow \mathrm{G} dada por \gamma(x)=x^{5}.

Passo 1

O enunciado dá um grupo abeliano qualquer G e a aplicação \gamma:\,G\to G definida por \gamma(x)=x^{5}. As perguntas são:
  • Verificar se \gamma é um homomorfismo de grupos.
  • Caso seja homomorfismo, determinar o núcleo \ker(\gamma).
Vou usar apenas as informações fornecidas: G é um grupo abeliano e a fórmula \gamma(x)=x^{5}.

Passo 2

Lembrete didático do que é preciso para testar: uma aplicação f:\,G\to H entre grupos é homomorfismo quando ela preserva a operação do grupo, isto é, quando vale
f(ab)=f(a)\,f(b)
para todos a,b\in G. O núcleo de um homomorfismo f é o subconjunto
\ker(f)=\{x\in G \mid f(x)=e\},
onde e é o elemento identidade de G. O núcleo é sempre um subgrupo (e, no caso geral, um subgrupo normal) de G.
Aqui vamos testar se \gamma(xy)=\gamma(x)\gamma(y) para todo x,y\in G, e caso positivo escrever \ker(\gamma) em termos de uma equação.

Passo 3

Calcular explicitamente os dois lados a comparar:
O lado esquerdo é
\gamma(xy)=(xy)^{5}.
O lado direito é
\gamma(x)\gamma(y)=x^{5}y^{5}.
Queremos verificar se (xy)^{5}=x^{5}y^{5} para todos x,y\in G.

Passo 4

Usar que G é abeliano (ou seja, xy=yx para todos x,y\in G) para provar (xy)^{5}=x^{5}y^{5}. Uma maneira clara é por indução em n para provar (xy)^{n}=x^{n}y^{n} para todo n\in\mathbb{N}.
Base n=1: (xy)^{1}=xy=x^{1}y^{1}, óbvio.
Passo indutivo: suponha (xy)^{n}=x^{n}y^{n}. Então
(xy)^{n+1}=(xy)^{n}(xy)=x^{n}y^{n}xy.
Como G é abeliano, y^{n}x=x y^{n}, portanto
x^{n}y^{n}xy = x^{n}(y^{n}x)y = x^{n}(x y^{n})y = x^{n+1}y^{n+1}.
Assim a propriedade vale para n+1. Por indução, vale para n=5, logo
(xy)^{5}=x^{5}y^{5}.

Passo 5

Da igualdade (xy)^{5}=x^{5}y^{5} para todos x,y\in G segue que
\gamma(xy)=\gamma(x)\gamma(y)
para todos x,y\in G. Portanto \gamma é um homomorfismo de grupos.
(Comentário rápido e útil: a propriedade usada foi a comutatividade de G. Se G não fosse abeliano, em geral a igualdade não valeria e \gamma poderia falhar em ser homomorfismo.)

Passo 6

Determinar o núcleo. Por definição,
\ker(\gamma)=\{x\in G \mid \gamma(x)=e\}=\{x\in G \mid x^{5}=e\}.
Mostro que esse conjunto é de facto um subgrupo (mas como \gamma já é homomorfismo, isso já é automático; aqui é para aprender a ver na prova):
  • Identidade: e^{5}=e, logo e\in\ker(\gamma).
  • Fechamento: se a,b\in\ker(\gamma), então a^{5}=e e b^{5}=e. Como \gamma é homomorfismo,
(ab)^{5}=\gamma(ab)=\gamma(a)\gamma(b)=e\cdot e=e,
portanto ab\in\ker(\gamma).
  • Inverção: se a\in\ker(\gamma) então a^{5}=e. Então (a^{-1})^{5}=(a^{5})^{-1}=e^{-1}=e, logo a^{-1}\in\ker(\gamma).
Assim \ker(\gamma) é subgrupo de G.
Interpretação dos elementos do núcleo: todo x\in\ker(\gamma) satisfaz x^{5}=e, portanto a ordem de x (se for finita) divide 5. Em particular os elementos não triviais do núcleo têm ordem 5 e o elemento trivial tem ordem 1. Em linguagem compacta, o núcleo é o subgrupo de 5-torsão de G.

Resposta

Sim, \gamma é homomorfismo.
\ker(\gamma)=\{\,x\in G \mid x^{5}=e\,\}.

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