Em cada item, verificar se as aplicações definidas são homomorfismos. Em caso afirmativo, determine o núcleo.
G é grupo abeliano qualquer e
dada por
.
G é grupo abeliano qualquer e
Passo 1
O enunciado dá um grupo abeliano qualquer
e a aplicação
definida por
. As perguntas são:
- Verificar se
é um homomorfismo de grupos. - Caso seja homomorfismo, determinar o núcleo
.
Vou usar apenas as informações fornecidas:
é um grupo abeliano e a fórmula
.
Passo 2
Lembrete didático do que é preciso para testar: uma aplicação
entre grupos é homomorfismo quando ela preserva a operação do grupo, isto é, quando vale
para todos
. O núcleo de um homomorfismo
é o subconjunto
onde
é o elemento identidade de
. O núcleo é sempre um subgrupo (e, no caso geral, um subgrupo normal) de
.
Aqui vamos testar se
para todo
, e caso positivo escrever
em termos de uma equação.
Passo 3
Calcular explicitamente os dois lados a comparar:
O lado esquerdo é
O lado direito é
Queremos verificar se
para todos
.
Passo 4
Usar que
é abeliano (ou seja,
para todos
) para provar
. Uma maneira clara é por indução em
para provar
para todo
.
Base
:
, óbvio.
Passo indutivo: suponha
. Então
Como
é abeliano,
, portanto
Assim a propriedade vale para
. Por indução, vale para
, logo
Passo 5
Da igualdade
para todos
segue que
para todos
. Portanto
é um homomorfismo de grupos.
(Comentário rápido e útil: a propriedade usada foi a comutatividade de
. Se
não fosse abeliano, em geral a igualdade não valeria e
poderia falhar em ser homomorfismo.)
Passo 6
Determinar o núcleo. Por definição,
Mostro que esse conjunto é de facto um subgrupo (mas como
já é homomorfismo, isso já é automático; aqui é para aprender a ver na prova):
- Identidade:
, logo . - Fechamento: se
, então e . Como é homomorfismo,
portanto
.
- Inverção: se
então . Então , logo .
Assim
é subgrupo de
.
Interpretação dos elementos do núcleo: todo
satisfaz
, portanto a ordem de
(se for finita) divide
. Em particular os elementos não triviais do núcleo têm ordem
e o elemento trivial tem ordem
. Em linguagem compacta, o núcleo é o subgrupo de 5-torsão de
.
Resposta
Sim,
é homomorfismo.
.