Quais dos seguintes subconjuntos de
(\mathbb{Z}_{13}) são subgrupos multiplicativos?
{\overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{6}, \overline{8}, \overline{10}, \overline{12}}
e pede para decidir se ele é um subgrupo multiplicativo (ou seja, subgrupo de \mathbb{Z}_{13}^\times, o grupo dos inversíveis módulo 13). Informações relevantes que o enunciado dá ou implica:
13 é primo, então \mathbb{Z}_{13}^\times é o grupo multiplicativo de todas as classes \overline{1},\overline{2},\dots,\overline{12} e tem ordem 12.
O conjunto S listado contém 8 elementos (contagem direta).
O que se pergunta: o conjunto S é um subgrupo multiplicativo de \mathbb{Z}_{13}?
Passo 2
Critérios fundamentais para decidir se um subconjunto H de um grupo G é subgrupo:
Deve conter a identidade do grupo. No caso multiplicativo, a identidade é \overline{1}.
Deve ser fechado para a operação: para todo a,b\in H, deve valer a\cdot b\in H.
Para todo a\in H, o inverso a^{-1} (no grupo G) deve estar em H.
Para grupos finitos há um teste rápido adicional vindo do Teorema de Lagrange: a ordem (número de elementos) de qualquer subgrupo divide a ordem do grupo ambient e. Aqui a ordem de \mathbb{Z}_{13}^\times é 12. Logo, se S fosse subgrupo, seu número de elementos deveria ser um divisor de 12.
Explicando Lagrange de modo simples: se G tem |G|=12 e H\le G tem |H|=m, então necessariamente m divide 12. Os divisores de 12 são 1,2,3,4,6,12.
Passo 3
Aplicando o teste de ordem: o conjunto S tem |S|=8. Como 8 não é divisor de 12 (os divisores de 12 listados acima não incluem 8), o Teorema de Lagrange diz que não existe subgrupo de ordem 8 em \mathbb{Z}_{13}^\times. Portanto já temos uma razão teórica imediata para concluir que S não pode ser subgrupo.
Passo 4
Para fixar a intuição e mostrar de forma construtiva que a propriedade de fechamento falha, calculemos produtos mod 13 com elementos de S. Por exemplo:
\overline{3}\cdot\overline{3}=\overline{9},
porque 3\cdot 3=9 e 9 reduzido módulo 13 é 9. Observe que \overline{9} não aparece na lista de elementos de S. Assim S não é fechado sob multiplicação, outra maneira direta de ver que não é subgrupo.
Podemos ainda checar inversos: o inverso de \overline{2} em \mathbb{Z}_{13}^\times é \overline{7}, pois
Novamente \overline{7}\notin S, então S não contém o inverso de \overline{2}. Isso confirma a falha da condição “inversos”.
Passo 5
Conclusão lógica dos passos anteriores: por Lagrange já era impossível ter um subgrupo de ordem 8 dentro de um grupo de ordem 12; e explicitamente vemos que S falha na propriedade de fechamento (por exemplo \overline{3}\cdot\overline{3}=\overline{9}\notin S) e também não contém o inverso de \overline{2}. Portanto S não é um subgrupo multiplicativo de \mathbb{Z}_{13}.
Resposta
O conjunto dado não é subgrupo multiplicativo de \mathbb{Z}_{13}.