Mostre que
não é grupo abeliano.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que
não é grupo abeliano.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
-
é o conjunto das permutações (biunívocas) do conjunto com a operação sendo a composição de permutações. - A tarefa é provar que a operação composição em
não comuta, ou seja, encontrar elementos tais que .
Passo 2
Definições básicas necessárias (explicadas com calma):
- Um grupo é um conjunto com uma operação que satisfaz fechamento, associatividade, existe elemento neutro e todo elemento tem inverso. Não precisamos verificar isso aqui; já sabemos que
é um grupo com a composição de permutações. - Um grupo é abeliano (ou comutativo) se, para todo par de elementos
do grupo, vale
Para mostrar que um grupo NÃO é abeliano basta encontrar um par
tais que
Isso é o que vamos buscar em
.
Passo 3
Como trabalhar com permutações e notação cíclica (aula rápida e prática):
- Uma permutação é uma bijeção de
sobre si mesma. Escrevemos permutações em forma de ciclos. Por exemplo: -
é a permutação que troca com e fixa . -
troca com e fixa . -
é a permutação que manda , , . -
manda , , .
-
- Regra prática de composição: ao escrever
aplica-se primeiro e depois . Sempre aplique da direita para a esquerda quando compor ciclos.
Passo 4
Escolha de um par concreto de permutações (estratégia simples):
- Vamos escolher as transposições
e . Ambas pertencem a . - Vamos calcular
aplicando primeiro e depois . Façamos isso elemento a elemento no conjunto .
Cálculo de
:
- Para
: envia ; então fixa . Logo . - Para
: envia ; então envia . Logo . - Para
: fixa ; então envia . Logo .
Portanto a composição inteira é
Passo 5
Cálculo do outro produto
, para comparar:
- Para
: envia ; então fixa . Logo . - Para
: envia ; então envia . Logo . - Para
: fixa ; então envia . Logo .
Assim
Passo 6
Comparação explícita dos resultados (onde aprendeu a concluir sem conversa fiada):
- Obtivemos
- As duas permutações
e são diferentes (são ciclos 3 distintos: uma é o inverso da outra), portanto
- Isso mostra que existem elementos em
que não comutam entre si, ou seja, encontramos com .