Mostre que S_{3} não é grupo abeliano.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que S_{3} não é grupo abeliano.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • S_{3} é o conjunto das permutações (biunívocas) do conjunto \{1,2,3\} com a operação sendo a composição de permutações.
  • A tarefa é provar que a operação composição em S_{3} não comuta, ou seja, encontrar elementos x,y\in S_{3} tais que x\circ y \neq y\circ x.

Passo 2

Definições básicas necessárias (explicadas com calma):
  • Um grupo é um conjunto com uma operação que satisfaz fechamento, associatividade, existe elemento neutro e todo elemento tem inverso. Não precisamos verificar isso aqui; já sabemos que S_{3} é um grupo com a composição de permutações.
  • Um grupo é abeliano (ou comutativo) se, para todo par de elementos a,b do grupo, vale
a\circ b = b\circ a.
Para mostrar que um grupo NÃO é abeliano basta encontrar um par x,y tais que
x\circ y \neq y\circ x.
Isso é o que vamos buscar em S_{3}.

Passo 3

Como trabalhar com permutações e notação cíclica (aula rápida e prática):
  • Uma permutação é uma bijeção de \{1,2,3\} sobre si mesma. Escrevemos permutações em forma de ciclos. Por exemplo:
    • (12) é a permutação que troca 1 com 2 e fixa 3.
    • (13) troca 1 com 3 e fixa 2.
    • (123) é a permutação que manda 1\mapsto2, 2\mapsto3, 3\mapsto1.
    • (132) manda 1\mapsto3, 3\mapsto2, 2\mapsto1.
  • Regra prática de composição: ao escrever \sigma\circ\tau aplica-se primeiro \tau e depois \sigma. Sempre aplique da direita para a esquerda quando compor ciclos.

Passo 4

Escolha de um par concreto de permutações (estratégia simples):
  • Vamos escolher as transposições \sigma = (12) e \tau = (13). Ambas pertencem a S_{3}.
  • Vamos calcular \sigma\circ\tau aplicando \tau primeiro e depois \sigma. Façamos isso elemento a elemento no conjunto \{1,2,3\}.
Cálculo de \sigma\circ\tau = (12)\circ(13):
  • Para 1: (13) envia 1\mapsto3; então (12) fixa 3. Logo 1 \mapsto 3.
  • Para 3: (13) envia 3\mapsto1; então (12) envia 1\mapsto2. Logo 3 \mapsto 2.
  • Para 2: (13) fixa 2; então (12) envia 2\mapsto1. Logo 2 \mapsto 1.
Portanto a composição inteira é
(12)\circ(13) = (1\\\ 3\\\ 2).

Passo 5

Cálculo do outro produto \tau\circ\sigma = (13)\circ(12), para comparar:
  • Para 1: (12) envia 1\mapsto2; então (13) fixa 2. Logo 1 \mapsto 2.
  • Para 2: (12) envia 2\mapsto1; então (13) envia 1\mapsto3. Logo 2 \mapsto 3.
  • Para 3: (12) fixa 3; então (13) envia 3\mapsto1. Logo 3 \mapsto 1.
Assim
(13)\circ(12) = (1\\\ 2\\\ 3).

Passo 6

Comparação explícita dos resultados (onde aprendeu a concluir sem conversa fiada):
  • Obtivemos
(12)\circ(13) = (1\\\ 3\\\ 2) \qquad\text{e}\qquad (13)\circ(12) = (1\\\ 2\\\ 3).
  • As duas permutações (1\\\ 3\\\ 2) e (1\\\ 2\\\ 3) são diferentes (são ciclos 3 distintos: uma é o inverso da outra), portanto
(12)\circ(13) \neq (13)\circ(12).
  • Isso mostra que existem elementos em S_{3} que não comutam entre si, ou seja, encontramos x,y\in S_{3} com x\circ y\neq y\circ x.

Resposta

S_{3} não é grupo abeliano.

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