Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x+|x|;

Passo 1

O enunciado dá a função
f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\quad f(x)=x+|x|
e pede para verificar se f é injetiva e se é sobrejetiva. Vamos usar a definição de injetividade f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 e de sobrejetividade \forall y\in\mathbb{R}\,\exists x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y.

Passo 2

Decompomos em casos usando a definição de valor absoluto:
  • Se x\ge0, então |x|=x e
f(x)=x+x=2x.
  • Se x<0, então |x|=-x e
f(x)=x - x = 0.
Portanto
f(x)= \begin{cases} 2x, & x\ge0,\\\\ 0, & x<0. \end{cases}

Passo 3

Para testar injetividade basta achar x_1\neq x_2 com f(x_1)=f(x_2). Por exemplo, se x_1=-1 e x_2=-2 (ambos negativos), temos
f(-1)=0 = f(-2),
mas -1\neq -2. Logo f não é injetiva.

Passo 4

Para testar sobrejetividade analisamos o conjunto imagem. Vimos que f(x)=0 sempre que x<0 e f(x)=2x\ge0 para x\ge0. Então
\mathrm{Im}(f) = \{0\}\cup [0,\infty) = [0,\infty).
Não há x\in\mathbb{R} tal que f(x)<0. Logo f não é sobrejetiva em \mathbb{R}.

Resposta

A função f não é injetiva e não é sobrejetiva.

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