Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, f(x)=x^{2}!; () lembre-se que x!=x(x-1)(x-2) \ldots \cdot 2 \cdot 1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z},\qquad f(x)=(x^2)!
é injetiva e se é sobrejetiva.
Para isso, vamos usar as definições:
f é injetiva se, sempre que f(x_1)=f(x_2), a gente tiver x_1=x_2.
f é sobrejetiva se, para todo y\in\mathbb{Z}, existe x\in\mathbb{Z} tal que f(x)=y.

Passo 2

Verificação da injetividade.
Suponha f(x_1)=f(x_2). Então
(x_1^2)!= (x_2^2)!.
Como a função n\mapsto n! é estritamente crescente em \mathbb{N}_0, isso implica
x_1^2 = x_2^2 \quad\Longrightarrow\quad |x_1| = |x_2|.
Logo ou x_1=x_2 ou x_1=-x_2. Portanto existem sempre pares distintos (x,-x) que têm a mesma imagem, por exemplo
f(1)=1! = 1 \quad\text{e}\quad f(-1)=(-1)^2! = 1!.
Isso mostra que f não é injetiva.

Passo 3

Verificação da sobrejetividade.
Note que para qualquer x\in\mathbb{Z} temos (x^2)!\ge0. Logo nenhum valor negativo em \mathbb{Z} é atingido, mostrando já que f não é sobrejetiva.
Além disso, mesmo entre os inteiros não negativos faltam muitos valores: por exemplo não há x\in\mathbb{Z} com
f(x) = 3! = 6,
pois precisaríamos de x^2=3, o que não ocorre em \mathbb{Z}. Portanto f também não é sobrejetiva.

Resposta

f não é injetiva e não é sobrejetiva.

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