Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
; () lembre-se que
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é injetiva e se é sobrejetiva.
Para isso, vamos usar as definições:
Para isso, vamos usar as definições:
–
é injetiva se, sempre que
, a gente tiver
.
– é sobrejetiva se, para todo
, existe
tal que
.
–
Passo 2
Verificação da injetividade.
Suponha . Então
Suponha
Como a função
é estritamente crescente em
, isso implica
Logo ou
ou
. Portanto existem sempre pares distintos
que têm a mesma imagem, por exemplo
Isso mostra que
não é injetiva.
Passo 3
Verificação da sobrejetividade.
Note que para qualquer temos
. Logo nenhum valor negativo em
é atingido, mostrando já que
não é sobrejetiva.
Além disso, mesmo entre os inteiros não negativos faltam muitos valores: por exemplo não há com
Note que para qualquer
Além disso, mesmo entre os inteiros não negativos faltam muitos valores: por exemplo não há
pois precisaríamos de
, o que não ocorre em
. Portanto
também não é sobrejetiva.