Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, f(x)=2 x^{2}+x+1;

Passo 1

O enunciado define a função \displaystyle f\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z} \displaystyle f(x)=2x^{2}+x+1.
Precisamos verificar se f é injetiva (ou seja, se f(x_{1})=f(x_{2}) implica x_{1}=x_{2}) e se é sobrejetiva (ou seja, se para todo y\in\mathbb{Z} existe x\in\mathbb{Z} tal que f(x)=y).

Passo 2

Para testar injetividade, suponha
f(x_{1})=f(x_{2})
isto é,
2x_{1}^{2}+x_{1}+1 \;=\;2x_{2}^{2}+x_{2}+1.
Subtraindo, obtemos
0 = 2(x_{1}^{2}-x_{2}^{2}) + (x_{1}-x_{2}) = (x_{1}-x_{2})\bigl[2(x_{1}+x_{2})+1\bigr].
Em \mathbb{Z}, o fator 2(x_{1}+x_{2})+1 é sempre ímpar e nunca pode ser zero; logo o produto só se anula se
x_{1}-x_{2}=0\quad\Longrightarrow\quad x_{1}=x_{2}.
Portanto, f é injetiva.

Passo 3

Para testar sobrejetividade, analisamos o mínimo de f. Como 2x^{2}+x+1 é um polinômio de grau 2 com coeficiente positivo, seu valor mínimo real ocorre em x=-\tfrac{1}{4}. Nos inteiros, os valores mais próximos são x=0 e x=-1, e
f(0)=1,\quad f(-1)=2,
mostrando que o menor valor atingido é 1. Logo
\Im(f)\subset\{n\in\mathbb{Z}\mid n\ge1\},
de onde, por exemplo, não existe x\in\mathbb{Z} tal que f(x)=0 nem tampouco f(x)=3. Assim, f não é sobrejetiva.

Resposta

f é injetiva e não sobrejetiva.

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