Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
;
Passo 1
O enunciado define a função
.
Precisamos verificar se é injetiva (ou seja, se
implica
) e se é sobrejetiva (ou seja, se para todo
existe
tal que
).
Precisamos verificar se
Passo 2
Para testar injetividade, suponha
isto é,
Subtraindo, obtemos
Em
, o fator
é sempre ímpar e nunca pode ser zero; logo o produto só se anula se
Portanto,
é injetiva.
Passo 3
Para testar sobrejetividade, analisamos o mínimo de
. Como
é um polinômio de grau 2 com coeficiente positivo, seu valor mínimo real ocorre em
. Nos inteiros, os valores mais próximos são
e
, e
mostrando que o menor valor atingido é
. Logo
de onde, por exemplo, não existe
tal que
nem tampouco
. Assim,
não é sobrejetiva.