Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
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Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função \r
é injetiva e se é sobrejetiva. O conteúdo envolve testes de monotonicidade (para injetividade) e determinação do contradomínio (para sobrejetividade).
Passo 2
Para testar injetividade observamos que uma função polinomial de grau 2 é injetiva somente se for estritamente monótona em todo
. Calculamos a derivada: \r
Note que
em
, e que \r
- para
, (função decrescente); \r - para
, (função crescente). \r
Logonão é monotonicamente estrita em , e portanto não é injetiva. \r
Uma demonstração concreta: \r
com
mostrando dois pontos distintos com mesma imagem.
Passo 3
Para testar sobrejetividade determinamos o menor valor que
atinge. Pelo ponto crítico
temos \r
Como
é parabólica voltada para cima, seu contradomínio é \r
Logo não atinge valores menores que
, e não é sobrejetiva.
Resposta
A função
não é injetiva e não é sobrejetiva.