Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
f: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}_{+}, f(x)=\left|x^{2}-1\right|; (em que \mathbb{R}_{+}=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\}=[0, \infty) )

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon \mathbb{R}_{+}\to\mathbb{R}_{+},\quad f(x)=\lvert x^2-1\rvert,
onde \mathbb{R}_{+}=[0,\infty). Precisamos verificar se f é injetiva (valores iguais só podem vir de pontos iguais) e se é sobrejetiva (para todo y\ge0 existe x\ge0 com f(x)=y).

Passo 2

Para testar injetividade basta encontrar x_1\neq x_2 com f(x_1)=f(x_2). Note que
f(0)=\lvert 0^2-1\rvert=1 \quad\text{e}\quad f(\sqrt{2})=\lvert (\sqrt{2})^2-1\rvert=\lvert2-1\rvert=1.
Como 0\neq\sqrt{2} mas f(0)=f(\sqrt{2}), a função não é injetiva.

Passo 3

Para testar sobrejetividade, tome um valor arbitrário y\ge0 e resolva
\lvert x^2-1\rvert=y.
Isso equivale a
  1. x^2-1=y, ou seja x^2=1+y, com solução x=\sqrt{1+y}\ge0.
  2. x^2-1=-y, ou seja x^2=1-y, que dá solução x=\sqrt{1-y} somente se 0\le y\le1.
Em todo caso, para qualquer y\ge0 a escolha x=\sqrt{1+y}
é válida e satisfaz f(x)=y. Logo o contradomínio [0,\infty) é atingido inteiro e f é sobrejetiva.

Resposta

A função f não é injetiva e é sobrejetiva.

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