Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique. f: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}_{+}, f(x)=\left|x^{2}-1\right|; (em que \mathbb{R}_{+}=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\}=[0, \infty) )
onde \mathbb{R}_{+}=[0,\infty). Precisamos verificar se f é injetiva (valores iguais só podem vir de pontos iguais) e se é sobrejetiva (para todo y\ge0 existe x\ge0 com f(x)=y).
Passo 2
Para testar injetividade basta encontrar x_1\neq x_2 com f(x_1)=f(x_2). Note que
Como 0\neq\sqrt{2} mas f(0)=f(\sqrt{2}), a função não é injetiva.
Passo 3
Para testar sobrejetividade, tome um valor arbitrário y\ge0 e resolva
\lvert x^2-1\rvert=y.
Isso equivale a
x^2-1=y, ou seja x^2=1+y, com solução x=\sqrt{1+y}\ge0.
x^2-1=-y, ou seja x^2=1-y, que dá solução x=\sqrt{1-y} somente se 0\le y\le1.
Em todo caso, para qualquer y\ge0 a escolha x=\sqrt{1+y}
é válida e satisfaz f(x)=y. Logo o contradomínio [0,\infty) é atingido inteiro e f é sobrejetiva.