Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
f:[0, \infty) \rightarrow[-1, \infty), f(x)=x^{2}-2 x;

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon[0,\infty)\to[-1,\infty),\quad f(x)=x^2-2x
e pede para verificar injetividade e sobrejetividade. Para isso, vamos usar a derivada para analisar monotonicidade e também determinar a imagem de f.

Passo 2

Para testar injetividade, calculamos a derivada
f'(x)=2x-2.
Note que f'(x)<0 para 0\le x<1 e f'(x)>0 para x>1. Logo, f decresce em [0,1] e cresce em [1,\infty). Como não é monotônica em todo o domínio, f não é injetiva.

Passo 3

Para exemplificar a falha de injetividade, basta encontrar x_1\neq x_2 tais que f(x_1)=f(x_2). Por exemplo,
f(0)=0^2-2\cdot0=0,
f(2)=2^2-2\cdot2=0,
então f(0)=f(2) mas 0\neq2, confirmando que f não é injetiva.

Passo 4

Para testar sobrejetividade, determinamos a imagem de f. Trata-se de uma parábola com vértice em x=1, onde
f(1)=1^2-2\cdot1=-1.
Esse é o valor mínimo de f. Como f(x)\to\infty quando x\to\infty e f é contínua, sua imagem é [-1,\infty), que coincide com o contradomínio. Portanto, f é sobrejetiva.

Resposta

f não é injetiva; f é sobrejetiva.

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