Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
;
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para verificar injetividade e sobrejetividade. Para isso, vamos usar a derivada para analisar monotonicidade e também determinar a imagem de
.
Passo 2
Para testar injetividade, calculamos a derivada
Note que
para
e
para
. Logo,
decresce em
e cresce em
. Como não é monotônica em todo o domínio,
não é injetiva.
Passo 3
Para exemplificar a falha de injetividade, basta encontrar
tais que
. Por exemplo,
então
mas
, confirmando que
não é injetiva.
Passo 4
Para testar sobrejetividade, determinamos a imagem de
. Trata-se de uma parábola com vértice em
, onde
Esse é o valor mínimo de
. Como
quando
e
é contínua, sua imagem é
, que coincide com o contradomínio. Portanto,
é sobrejetiva.