Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
;
Passo 1
O enunciado dá a função
Precisamos verificar se
é injetiva (um‐para‐um) e sobrejetiva (atinge todo o contradomínio). Usaremos as definições formais de cada propriedade.
Passo 2
Para injetividade, assumimos dois pontos
tais que
Isso implica
e, como ambos os
são positivos, podemos tomar recíproco em ambos os lados, obtendo
Logo, não existem dois pontos distintos em
com mesma imagem:
é injetiva.
Passo 3
Para sobrejetividade, pegamos um valor arbitrário
e queremos um
tal que
. Da equação
segue
Como
, temos
, isto é,
pertence a
. Assim, para todo
existe
com
, e
é sobrejetiva.
Resposta
A função
é injetiva e sobrejetiva, logo é bijetiva.