Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2 x^{2}+x+1;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função \r
\;f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=2x^2+x+1 \r
é injetiva e se é sobrejetiva. O conteúdo envolve testes de monotonicidade (para injetividade) e determinação do contradomínio (para sobrejetividade).

Passo 2

Para testar injetividade observamos que uma função polinomial de grau 2 é injetiva somente se for estritamente monótona em todo \mathbb{R}. Calculamos a derivada: \r
\;f'(x)=\frac{d}{dx}(2x^2+x+1)=4x+1. \r
Note que f'(x)=0 em x=-\tfrac14, e que \r
  • para x<-\tfrac14, 4x+1<0 (função decrescente); \r
  • para x>-\tfrac14, 4x+1>0 (função crescente). \r
    Logo f não é monotonicamente estrita em \mathbb{R}, e portanto não é injetiva. \r
    Uma demonstração concreta: \r
\;f\bigl(-\tfrac12\bigr)=2\bigl(-\tfrac12\bigr)^2+(-\tfrac12)+1=1\quad\text{e}\quad f(0)=1, \r
com -\tfrac12\neq0 mostrando dois pontos distintos com mesma imagem.

Passo 3

Para testar sobrejetividade determinamos o menor valor que f atinge. Pelo ponto crítico x=-\tfrac14 temos \r
\;f\bigl(-\tfrac14\bigr)=2\bigl(-\tfrac14\bigr)^2+(-\tfrac14)+1=\tfrac18-\tfrac14+1=\tfrac78. \r
Como f é parabólica voltada para cima, seu contradomínio é \r
\,[\tfrac78,\infty)\subsetneq\mathbb{R}. \r
Logo não atinge valores menores que \tfrac78, e não é sobrejetiva.

Resposta

A função f não é injetiva e não é sobrejetiva.

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