Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique. f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}, f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x-1}{2}, \text { se } x \text { é ímpar } \\\ \frac{-x}{2}, \text { se } x \text { é par }\end{array}\right.;
e pede para verificar injetividade e sobrejetividade. O conteúdo aqui é teoria de funções: verificar se f(x_1)=f(x_2) implica x_1=x_2 (injeção) e, dado z\in\mathbb{Z}, encontrar x\in\mathbb{N} com f(x)=z (sobrejeção).]
Passo 2
Para trabalhar com mais clareza, escrevemos x em função de um índice inteiro:
Se x é ímpar, então x=2k+1 com k\in\mathbb{N}_0 e
f(2k+1)=\frac{(2k+1)-1}{2}=k.
Se x é par, então x=2m com m\in\mathbb{N} e
f(2m)=-\frac{2m}{2}=-m.
Passo 3
Prova de injetividade. Suponha f(x_1)=f(x_2). Há três casos:
Ambos ímpares: x_1=2k_1+1, x_2=2k_2+1. Então f(x_i)=k_i, logo k_1=k_2 e x_1=2k_1+1=2k_2+1=x_2.
Ambos pares: x_1=2m_1, x_2=2m_2. Então f(x_i)=-m_i, logo -m_1=-m_2 \implies m_1=m_2 \implies x_1=2m_1=2m_2=x_2.
Um ímpar e outro par: então f(x_1)\ge0 e f(x_2)\le -1 (ou vice-versa), o que impede f(x_1)=f(x_2).
Em todos os casos x_1=x_2. Logo f é injetiva.
Passo 4
Prova de sobrejetividade. Seja z\in\mathbb{Z}.
Se z\ge0, escreva z=k com k\in\mathbb{N}_0. Então x=2k+1\in\mathbb{N} é ímpar e
f(2k+1)=k=z.
Se z<0, escreva z=-m com m\in\mathbb{N}. Então x=2m\in\mathbb{N} é par e
f(2m)=-m=z.
Em ambos os casos encontramos x\in\mathbb{N} tal que f(x)=z. Logo f é sobrejetiva.