Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left\{\begin{array}{r}x, \text { se } x \in \mathbb{Q} \\\\ -x, \text { se } x \notin \mathbb{Q}\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede para analisar as propriedades de injetividade (um-a-um) e sobrejetividade (sobre) da função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)= \begin{cases} x,&\text{se }x\in\mathbb{Q},\\\\ -x,&\text{se }x\notin\mathbb{Q}. \end{cases}
Para isso vamos usar as definições:
f é injetiva se, sempre que f(x_1)=f(x_2), então x_1=x_2.
f é sobrejetiva se, para todo y\in\mathbb{R}, existe x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y.

Passo 2

Para testar injetividade basta encontrar dois pontos distintos que têm a mesma imagem. Por exemplo, escolha
x_1 = 1\in\mathbb{Q},\quad x_2 = -1\notin\mathbb{Q}.
Então
f(x_1)=f(1)=1,\qquad f(x_2)=f(-1)=-(-1)=1,
logo f(x_1)=f(x_2) mas x_1\neq x_2. Portanto f falha em ser injetiva.

Passo 3

Para verificar sobrejetividade, fixe um y\in\mathbb{R}.
Se y\in\mathbb{Q}, basta tomar x=y (que é racional) e então
f(x)=f(y)=y.
Se y\notin\mathbb{Q}, note que -y\notin\mathbb{Q} também é irracional, e então
f(-y) = -(-y)=y.
Assim, para todo y existe x com f(x)=y, logo f é sobrejetiva.

Resposta

A função f não é injetiva e é sobrejetiva.

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