Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral.
10) \quad \int\left(4 x^{2}-8 \cos (\pi x)\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\bigl(4x^{2}-8\cos(\pi x)\bigr)\,dx.
Para resolver, vamos usar duas regras básicas de integração:
  1. Regra da potência: \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
  2. Integral de cosseno com fator linear: \displaystyle \int \cos(a x)\,dx = \frac{1}{a}\sin(a x).

Passo 2

Separamos a integral em duas parcelas usando a propriedade da linearidade:
\int\bigl(4x^{2}-8\cos(\pi x)\bigr)\,dx = \int 4x^{2}\,dx \;-\; 8\int \cos(\pi x)\,dx.

Passo 3

Para a primeira parcela aplicamos a regra da potência:
\int 4x^{2}\,dx = 4\int x^{2}\,dx = 4\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{4}{3}x^{3}.

Passo 4

Para a segunda parcela usamos a fórmula da integral do cosseno com a=\pi:
\int \cos(\pi x)\,dx = \frac{1}{\pi}\sin(\pi x).
Multiplicando por -8 temos
-8\int \cos(\pi x)\,dx = -8\cdot\frac{1}{\pi}\sin(\pi x) = -\frac{8}{\pi}\sin(\pi x).

Passo 5

Somando os dois resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(4x^{2}-8\cos(\pi x)\bigr)\,dx = \frac{4}{3}x^{3} \;-\; \frac{8}{\pi}\sin(\pi x) + C.

Resposta

\boxed{\frac{4}{3}x^{3} - \frac{8}{\pi}\sin(\pi x) + C}

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