Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral.
11) \quad \int(14 \tan (2 x) \operatorname{sec} (2 x)) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 14\,\tan(2x)\,\operatorname{sec}(2x)\,dx.
Estamos lidando com uma integral de função trigonométrica composta, e vamos aproveitar que a derivada de \operatorname{sec}(2x) envolve exatamente \operatorname{sec}(2x)\tan(2x).

Passo 2

Calculemos a derivada de \operatorname{sec}(2x). Usando a regra da cadeia e sabendo que
\frac{d}{du}\operatorname{sec}(u)=\operatorname{sec}(u)\tan(u),
temos
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(2x) =2\cdot\operatorname{sec}(2x)\tan(2x).

Passo 3

Isolando \operatorname{sec}(2x)\tan(2x) na expressão acima, obtemos
\operatorname{sec}(2x)\tan(2x) =\frac{1}{2}\,\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(2x)\bigr).
Logo o integrando fica
14\,\tan(2x)\operatorname{sec}(2x) =14\cdot\frac{1}{2}\,\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(2x)\bigr) =7\,\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(2x)\bigr).

Passo 4

Substituindo na integral:
\int 14\,\tan(2x)\operatorname{sec}(2x)\,dx = \int 7\,\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(2x)\bigr)\,dx =7\,\operatorname{sec}(2x)+C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

7\,\operatorname{sec}(2x)+C.

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