Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral.
9) \quad \int(2 \cos (3 x)-5 \operatorname{sen}(x / 2)) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\bigl(2\cos(3x)-5\sin(x/2)\bigr)\,dx.
O conteúdo usado aqui é a linearidade da integral e as fórmulas básicas
\int \cos(ax)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax), \qquad \int \sin(ax)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax).

Passo 2

Aplicando a linearidade, escrevemos
\int\bigl(2\cos(3x)-5\sin(x/2)\bigr)\,dx = 2\int\cos(3x)\,dx \;-\; 5\int\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Para a primeira parte, use
\int\cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x),
logo
2\int\cos(3x)\,dx = 2\cdot\frac{1}{3}\sin(3x) = \frac{2}{3}\sin(3x).

Passo 4

Para a segunda parte, note que a=\tfrac12 em \sin(ax), então
\int\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx = -\frac{1}{\,\tfrac12\,}\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) = -2\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Multiplicando por -5, vem
-5\int\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx = -5\bigl(-2\cos(\tfrac{x}{2})\bigr) = 10\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante C, obtemos
\int\bigl(2\cos(3x)-5\sin(\tfrac{x}{2})\bigr)\,dx = \frac{2}{3}\sin(3x) + 10\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

Resposta

\int\bigl(2\cos(3x)-5\sin(\tfrac{x}{2})\bigr)\,dx = \frac{2}{3}\sin(3x) + 10\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

Exercícios relacionados