Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral.
9) \quad \int x\left(1+4 x^{2}\right)^{8} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x\bigl(1+4x^{2}\bigr)^{8}\,dx.
Esse problema envolve o uso da técnica de substituição (ou “chain rule inversa”), pois a derivada de 1+4x^{2} é proporcional a x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + 4x^{2}.
Diferenciando, temos
du = 8x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{8}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u,
\int x\bigl(1+4x^{2}\bigr)^{8}\,dx = \int u^{8}\,\frac{du}{8} = \frac{1}{8}\,\int u^{8}\,du.

Passo 4

Integramos u^{8}:
\int u^{8}\,du = \frac{u^{9}}{9}.
Logo,
\frac{1}{8}\,\int u^{8}\,du = \frac{1}{8}\cdot\frac{u^{9}}{9} = \frac{u^{9}}{72} + C.

Resposta

\frac{\bigl(1+4x^{2}\bigr)^{9}}{72} + C

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