Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral.
25) \int \frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos (x)} d x.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}\,dx.
Informações dadas que vamos usar: a integral envolve funções trigonométricas \operatorname{sen}(x) e \cos(x); a expressão é uma razão \operatorname{sen}/\cos. Não há mais condições no enunciado (como intervalo), então vamos buscar uma primitiva geral (com a constante de integração).

Passo 2

Observação sobre formas equivalentes (sem resolver ainda): a razão \dfrac{\operatorname{sen}x}{\cos x} é a própria função tangente, isto é,
\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x} = \tan x.
Uma forma de resolver é lembrar a primitiva de \tan x. Outra forma, muito direta e didática, é usar substituição: escolher uma função u cujo diferencial apareça no numerador. Vou escolher o método da substituição porque é elementoar e funciona sem decorar primitivas.

Passo 3

Escolhendo a substituição. Tome
u=\cos x.
Agora calcule o diferencial du. Usando a regra da derivada de \cos x (derivada de \cos x é -\operatorname{sen}x), temos
du = -\operatorname{sen}x\,dx.
Isolando \operatorname{sen}x\,dx obtemos
\operatorname{sen}x\,dx = -du.
Isto é exatamente útil porque o numerador da integral é \operatorname{sen}x\,dx.

Passo 4

Fazer a mudança de variável na integral. Substituindo u=\cos x e \operatorname{sen}x\,dx=-du, a integral fica
\int \frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}\,dx = \int \frac{-du}{u} = -\int \frac{1}{u}\,du.

Passo 5

Integrando a função 1/u. Sabemos que a primitiva de 1/u (para u\neq0) é o logaritmo natural do valor absoluto de u, ou seja,
\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C.
A barra de valor absoluto é necessária porque o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos, e ao integrar devemos cobrir o caso u<0 também. Assim,
-\int \frac{1}{u}\,du = -\ln|u| + C.

Passo 6

Voltar para a variável x. Como u=\cos x, substituímos de volta e obtemos a primitiva em x:
-\ln|\cos x| + C.
Também é comum escrever a resposta equivalente
\ln|\operatorname{sec} x| + C,
pois \operatorname{sec} x = 1/\cos x e \ln|\operatorname{sec} x| = -\ln|\cos x|. Ambas as formas estão corretas. Lembre-se de que essas primitivas só fazem sentido onde \cos x \neq 0.

Passo 7

Checagem rápida por derivação (para ter certeza): derive -\ln|\cos x|. Usando a regra da cadeia para \ln e a derivada de \cos x,
\frac{d}{dx}\bigl(-\ln|\cos x|\bigr) = -\frac{1}{\cos x}\cdot(-\operatorname{sen}x) = \frac{\operatorname{sen}x}{\cos x},
que é justamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\ln|\cos x| + C

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