Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral.
25)
.
25)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
Informações dadas que vamos usar: a integral envolve funções trigonométricas
e
; a expressão é uma razão
. Não há mais condições no enunciado (como intervalo), então vamos buscar uma primitiva geral (com a constante de integração).
Passo 2
Observação sobre formas equivalentes (sem resolver ainda): a razão
é a própria função tangente, isto é,
Uma forma de resolver é lembrar a primitiva de
. Outra forma, muito direta e didática, é usar substituição: escolher uma função
cujo diferencial apareça no numerador. Vou escolher o método da substituição porque é elementoar e funciona sem decorar primitivas.
Passo 3
Escolhendo a substituição. Tome
Agora calcule o diferencial
. Usando a regra da derivada de
(derivada de
é
), temos
Isolando
obtemos
Isto é exatamente útil porque o numerador da integral é
.
Passo 4
Fazer a mudança de variável na integral. Substituindo
e
, a integral fica
Passo 5
Integrando a função
. Sabemos que a primitiva de
(para
) é o logaritmo natural do valor absoluto de
, ou seja,
A barra de valor absoluto é necessária porque o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos, e ao integrar devemos cobrir o caso
também. Assim,
Passo 6
Voltar para a variável
. Como
, substituímos de volta e obtemos a primitiva em
:
Também é comum escrever a resposta equivalente
pois
e
. Ambas as formas estão corretas. Lembre-se de que essas primitivas só fazem sentido onde
.
Passo 7
Checagem rápida por derivação (para ter certeza): derive
. Usando a regra da cadeia para
e a derivada de
,
que é justamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.