Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral.
28)
.
28)
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral
Informações dadas: a integranda é
. A tarefa é encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, isto é, uma função
tal que
. Vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Observação útil (fórmula que vamos usar): a derivada de
é
Explicando por que:
. Derivando usando a regra do quociente ou a cadeia obtemos
Essa observação é importante porque a expressão
aparece naturalmente quando usamos substituição com
.
Passo 3
Reescrevemos a integranda de modo a evidenciar um fator
que corresponde a
. Fazemos:
Aqui apenas separamos
para isolar
.
Passo 4
Fazemos a substituição sugerida pela observação anterior:
Então
Usando isso na expressão do Passo 3,
vira
e
vira
, portanto a integral transforma-se em
Passo 5
Agora usamos a regra do poder para integrar polinômios em
: para
,
Aplicando com
,
Voltando à variável original
(substituição inversa), lembrando que
, obtemos
Passo 6
Pequena verificação por derivação (para ganhar confiança): derivando
usando regra da cadeia,
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Dica prática para a prova: quando vir produtos de potências de
e
, tente isolar um fator
ou
porque eles são derivadas simples de
e
, respectivamente. Exemplos rápidos: