Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral.
28) \quad \int 3 \tan (x) \operatorname{sec} ^{3}(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral
\int 3 \tan(x)\,\operatorname{sec}^{3}(x)\,dx.
Informações dadas: a integranda é 3\tan(x)\operatorname{sec}^{3}(x). A tarefa é encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=3\tan(x)\operatorname{sec}^{3}(x). Vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Observação útil (fórmula que vamos usar): a derivada de \operatorname{sec}(x) é
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x).
Explicando por que: \operatorname{sec}(x)=\frac{1}{\cos(x)}. Derivando usando a regra do quociente ou a cadeia obtemos
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\frac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)}=\operatorname{sec}(x)\tan(x).
Essa observação é importante porque a expressão \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx aparece naturalmente quando usamos substituição com u=\operatorname{sec}(x).

Passo 3

Reescrevemos a integranda de modo a evidenciar um fator \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx que corresponde a d(\operatorname{sec} x). Fazemos:
3\tan(x)\operatorname{sec}^{3}(x)\,dx = 3\operatorname{sec}^{2}(x)\big(\operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx\big).
Aqui apenas separamos \operatorname{sec}^{3}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x)\cdot\operatorname{sec}(x) para isolar \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx.

Passo 4

Fazemos a substituição sugerida pela observação anterior:
u=\operatorname{sec}(x).
Então
du=\operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx.
Usando isso na expressão do Passo 3, \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx vira du e \operatorname{sec}^{2}(x) vira u^{2}, portanto a integral transforma-se em
\int 3\operatorname{sec}^{2}(x)\big(\operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx\big)=\int 3u^{2}\,du.

Passo 5

Agora usamos a regra do poder para integrar polinômios em u: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando com n=2,
\int 3u^{2}\,du = 3\cdot\frac{u^{3}}{3}+C = u^{3}+C.
Voltando à variável original x (substituição inversa), lembrando que u=\operatorname{sec}(x), obtemos
u^{3}+C=\operatorname{sec}^{3}(x)+C.

Passo 6

Pequena verificação por derivação (para ganhar confiança): derivando \operatorname{sec}^{3}(x) usando regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}^{3}(x)=3\operatorname{sec}^{2}(x)\cdot\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=3\operatorname{sec}^{2}(x)\cdot\operatorname{sec}(x)\tan(x)=3\tan(x)\operatorname{sec}^{3}(x),
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Dica prática para a prova: quando vir produtos de potências de \operatorname{sec} e \tan, tente isolar um fator \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx ou \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx porque eles são derivadas simples de \operatorname{sec}(x) e \tan(x), respectivamente. Exemplos rápidos:
\int \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx=\operatorname{sec}(x)+C,\qquad \int \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx=\tan(x)+C.

Resposta

\operatorname{sec}^{3}(x)+C

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