Determine algumas curvas de nível da função f(x, y)=6-3 x-2 y e esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar algumas curvas de nível da função \,f(x,y)=6-3x-2y\, e (2) esboçar o gráfico.
Informações dadas: a função é \,f(x,y)=6-3x-2y\,. Não há outros dados; portanto vamos tomar vários valores de nível k (constantes) e achar as curvas \{(x,y)\mid f(x,y)=k\}.

Passo 2

O que é uma curva de nível (explicação didática):
Uma curva de nível associada a um valor \,k\in\mathbb{R}\, é o conjunto de pontos (x,y) no plano tal que a função toma o valor \,k nesses pontos. Em fórmula:
\{(x,y)\mid f(x,y)=k\}.
Para a nossa função, escrevemos a equação do nível e manipulamos algebricamente.

Passo 3

Formule a equação geral da curva de nível para um nível genérico \,k\,. Começamos com
f(x,y)=6-3x-2y=k.
Passo a passo de álgebra (sempre mostrando cada operação): subtraímos 6 de ambos os lados
-3x-2y = k-6.
Multiplicando por -1 para ficar mais confortável
3x+2y = 6-k.
Isolando y para obter a forma afim (reta em forma y = mx+b):
2y = 6-k-3x
y = -\frac{3}{2}x + \frac{6-k}{2}.
Conclusão: para cada \,k\, a curva de nível é uma reta com coeficiente angular -\tfrac{3}{2} e ordenada na origem \tfrac{6-k}{2}.

Passo 4

Escolhemos alguns níveis representativos (isso ajuda a esboçar): \,k=0,2,4,6,8\,. Para cada um escrevo a equação da reta e dois pontos simples para plotar (usarei x=0 e y=0 para achar interceptos):
  • Para \,k=6: substituindo em y=-\tfrac{3}{2}x+\tfrac{6-k}{2}
y=-\tfrac{3}{2}x+\tfrac{6-6}{2}= -\tfrac{3}{2}x.
Pontos: (0,0) e, por exemplo, x=2\Rightarrow y=-3 então ponto (2,-3).
  • Para \,k=4:
y=-\tfrac{3}{2}x+\tfrac{6-4}{2}= -\tfrac{3}{2}x+1.
Pontos: (0,1) e x=2\Rightarrow y=-3+1=-2 então (2,-2).
  • Para \,k=2:
y=-\tfrac{3}{2}x+\tfrac{6-2}{2}= -\tfrac{3}{2}x+2.
Pontos: (0,2) e x=2\Rightarrow y=-3+2=-1 então (2,-1).
  • Para \,k=0:
y=-\tfrac{3}{2}x+\tfrac{6-0}{2}= -\tfrac{3}{2}x+3.
Pontos: (0,3) e x=2\Rightarrow y=-3+3=0 então (2,0).
  • Para \,k=8:
y=-\tfrac{3}{2}x+\tfrac{6-8}{2}= -\tfrac{3}{2}x-1.
Pontos: (0,-1) e x=2\Rightarrow y=-3-1=-4 então (2,-4).
Essas retas são paralelas entre si (mesmo coeficiente angular -\tfrac{3}{2}) e deslocadas verticalmente conforme k.

Passo 5

Interpretação geométrica e propriedade importante (didática):
  • As curvas de nível são retas paralelas com inclinação -\tfrac{3}{2}. Ou seja, mudar k só desloca a reta para cima/baixo.
  • A distância entre retas correspondentes a níveis que diferem de \Delta k é proporcional a \frac{|\Delta k|}{\sqrt{(-3)^2+(-2)^2}}=\frac{|\Delta k|}{\sqrt{13}} (explico por que: a normal às retas é o vetor (3,2); distância entre duas retas paralelas 3x+2y=c_1 e 3x+2y=c_2 é |c_1-c_2|/\sqrt{3^2+2^2}). Aqui c=6-k.

Passo 6

Esboço do gráfico das curvas de nível (passo a passo prático para você desenhar na prova):
  1. Desenha e marca eixos x e y.
  2. Plota os pontos listados em cada reta (por exemplo os pontos para \,k=0,2,4,6,8\, que dei).
  3. Traça retas passando por cada par de pontos; todas devem ser paralelas com coeficiente angular -\tfrac{3}{2}.
  4. Anota ao lado de cada reta o valor de k correspondente. Pronto — esse é o contorno de nível (mapa de isolinhas).

Passo 7

Esboço do gráfico da função como superfície em \mathbb{R}^3 (porque muitas vezes se pede também o gráfico 3D):
  • A função \,z=f(x,y)=6-3x-2y\, é um plano. Podemos escrever como
3x+2y+z=6.
  • Interceptos com eixos (útil para desenhar o plano):
    • intercepto em x (tomando y=0,z=0): 3x=6\Rightarrow x=2 ponto (2,0,0).
    • intercepto em y (tomando x=0,z=0): 2y=6\Rightarrow y=3 ponto (0,3,0).
    • intercepto em z (tomando x=0,y=0): z=6 ponto (0,0,6).
  • Para esboçar o plano, plote esses três pontos no sistema 3D e desenhe o plano que passa por eles. As curvas de nível no plano z=f(x,y) são as interseções desse plano com planos horizontais z=k: ao cortar o plano por z=k obtemos exatamente as retas que listamos anteriormente.

Passo 8

Relação com gradiente (breve e intuitiva):
  • O gradiente da função é \nabla f(x,y)=\bigl(\tfrac{\partial f}{\partial x},\tfrac{\partial f}{\partial y}\bigr)=(-3,-2).
  • Esse vetor (-3,-2) aponta na direção de aumento mais rápido de f e é perpendicular às curvas de nível (por isso as retas têm normal paralelo a (3,2)). Isso ajuda a checar se o desenho das retas está coerente: as retas devem ser perpendiculares ao vetor (-3,-2).

Resposta

Curvas de nível (algumas escolhidas):
\,k=6:\; y=-\tfrac{3}{2}x
\,k=4:\; y=-\tfrac{3}{2}x+1
\,k=2:\; y=-\tfrac{3}{2}x+2
\,k=0:\; y=-\tfrac{3}{2}x+3
\,k=8:\; y=-\tfrac{3}{2}x-1
Esboço do gráfico 3D: a superfície é o plano \,3x+2y+z=6\, com interceptos (2,0,0), (0,3,0) e (0,0,6); as curvas de nível são as retas acima (interseções do plano com planos horizontais z=k).

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