Determine algumas curvas de nível da função
e esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar algumas curvas de nível da função
e (2) esboçar o gráfico.
Informações dadas: a função é . Não há outros dados; portanto vamos tomar vários valores de nível
(constantes) e achar as curvas
.
Informações dadas: a função é
Passo 2
O que é uma curva de nível (explicação didática):
Uma curva de nível associada a um valor é o conjunto de pontos
no plano tal que a função toma o valor
nesses pontos. Em fórmula:
Uma curva de nível associada a um valor
Para a nossa função, escrevemos a equação do nível e manipulamos algebricamente.
Passo 3
Formule a equação geral da curva de nível para um nível genérico
. Começamos com
Passo a passo de álgebra (sempre mostrando cada operação): subtraímos
de ambos os lados
Multiplicando por
para ficar mais confortável
Isolando
para obter a forma afim (reta em forma
):
Conclusão: para cada
a curva de nível é uma reta com coeficiente angular
e ordenada na origem
.
Passo 4
Escolhemos alguns níveis representativos (isso ajuda a esboçar):
. Para cada um escrevo a equação da reta e dois pontos simples para plotar (usarei
e
para achar interceptos):
- Para
: substituindo em dá
Pontos:
e, por exemplo,
então ponto
.
- Para
:
Pontos:
e
então
.
- Para
:
Pontos:
e
então
.
- Para
:
Pontos:
e
então
.
- Para
:
Pontos:
e
então
.
Essas retas são paralelas entre si (mesmo coeficiente angular
) e deslocadas verticalmente conforme
.
Passo 5
Interpretação geométrica e propriedade importante (didática):
- As curvas de nível são retas paralelas com inclinação
. Ou seja, mudar só desloca a reta para cima/baixo. - A distância entre retas correspondentes a níveis que diferem de
é proporcional a (explico por que: a normal às retas é o vetor ; distância entre duas retas paralelas e é ). Aqui .
Passo 6
Esboço do gráfico das curvas de nível (passo a passo prático para você desenhar na prova):
- Desenha e marca eixos
e . - Plota os pontos listados em cada reta (por exemplo os pontos para
que dei). - Traça retas passando por cada par de pontos; todas devem ser paralelas com coeficiente angular
. - Anota ao lado de cada reta o valor de
correspondente. Pronto — esse é o contorno de nível (mapa de isolinhas).
Passo 7
Esboço do gráfico da função como superfície em
(porque muitas vezes se pede também o gráfico 3D):
- A função
é um plano. Podemos escrever como
- Interceptos com eixos (útil para desenhar o plano):
- intercepto em
(tomando ): ponto . - intercepto em
(tomando ): ponto . - intercepto em
(tomando ): ponto .
- intercepto em
- Para esboçar o plano, plote esses três pontos no sistema 3D e desenhe o plano que passa por eles. As curvas de nível no plano
são as interseções desse plano com planos horizontais : ao cortar o plano por obtemos exatamente as retas que listamos anteriormente.
Passo 8
Relação com gradiente (breve e intuitiva):
- O gradiente da função é
. - Esse vetor
aponta na direção de aumento mais rápido de e é perpendicular às curvas de nível (por isso as retas têm normal paralelo a ). Isso ajuda a checar se o desenho das retas está coerente: as retas devem ser perpendiculares ao vetor .
Resposta
Curvas de nível (algumas escolhidas):
Esboço do gráfico 3D: a superfície é o plano
com interceptos
,
e
; as curvas de nível são as retas acima (interseções do plano com planos horizontais
).