Para cada um dos itens abaixo, defina (indicando domínio e contradomínio) e determine se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva uma função que a cada:
polinômio p(x) de grau 0,1 ou 2 associa (p(1), p(2), p(3));

Passo 1

O enunciado pede: definir (com domínio e contradomínio) e determinar se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva a função que a cada polinômio de grau 0, 1 ou 2 associa o triplo (p(1),p(2),p(3)).
Informações dadas: polinômios p(x) com grau igual a 0, 1 ou 2 (ou seja, grau menor ou igual a 2); a imagem pedida para cada polinômio é o vetor formado pelos valores de p nos pontos 1,2,3, isto é (p(1),p(2),p(3)).
Perguntas explícitas: (i) definir a função, indicando domínio e contradomínio; (ii) decidir se a função é injetiva; (iii) decidir se é sobrejetiva; (iv) decidir se é bijetiva.

Passo 2

Definição do conjunto de partida (domínio) e do conjunto de chegada (contradomínio), e definição explícita da função.
Denotemos por P_2 o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais e grau menor ou igual a 2. Assim cada p\in P_2 tem a forma \;p(x)=ax^2+bx+c\; com a,b,c\in\mathbb{R}.
Definimos a função T por
T: P_2 \longrightarrow \mathbb{R}^3,\qquad T(p) = \bigl(p(1),\,p(2),\,p(3)\bigr).
Aqui o domínio é P_2 e o contradomínio é \mathbb{R}^3.

Passo 3

Lembrete didático: o que significam injetiva, sobrejetiva e bijetiva (de forma simples).
  • Uma função T é injetiva (ou um-para-um) se polinômios diferentes dão imagens diferentes; formalmente, T(p_1)=T(p_2)\Rightarrow p_1=p_2.
  • T é sobrejetiva (ou “sobre”) se todo vetor (y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3 é imagem de algum polinômio p\in P_2; isto é, para todo (y_1,y_2,y_3) existe p tal que T(p)=(y_1,y_2,y_3).
  • T é bijetiva se for simultaneamente injetiva e sobrejetiva.
    Vou provar injetividade e sobrejetividade de formas que você possa reproduzir na prova.

Passo 4

Prova de injetividade — ideia e argumento passo a passo.
Estratégia: mostrar que se T(p)= (0,0,0) então p é o polinômio nulo; isso significa que o núcleo (kernel) de T é somente o polinômio zero, o que implica injetividade. Agora o detalhe elementar:
Suponha p\in P_2 e T(p)=(0,0,0). Isso significa que
p(1)=0,\qquad p(2)=0,\qquad p(3)=0.
Ou seja, 1,2,3 são raízes de p. Mas um polinômio não nulo de grau \le 2 não pode ter três raízes distintas: um polinômio de grau 0 (constante) se for não nulo nunca se anula; um de grau 1 tem no máximo uma raiz; um de grau 2 tem no máximo duas raízes distintas. Outra forma direta de ver isso é: se um polinômio p não nulo tem raízes r_1,r_2,\dots, então o polinômio (x-r_1)(x-r_2)\cdots divide p, o que força o grau de p a ser pelo menos o número de raízes distintas; aqui ter três raízes distintas forçaria grau \ge 3, contradizendo \deg p\le 2. Portanto a única possibilidade compatível é que p seja o polinômio nulo (todos os coeficientes nulos). Assim o único elemento do núcleo é o polinômio zero.
Ter núcleo trivial ( \{0\}) mostra que T é injetiva. (Dica prática para prova: escreva "se T(p)=T(q) então T(p-q)=0" e aplique o argumento anterior para concluir p-q=0, logo p=q.)

Passo 5

Prova de sobrejetividade usando interpolação (Lagrange) — construção explícita do pré-imagem.
Queremos mostrar: dado qualquer (y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3, existe p\in P_2 com p(1)=y_1,\;p(2)=y_2,\;p(3)=y_3.
A construção clássica é a interpolação de Lagrange: definimos três polinômios base L_1(x),L_2(x),L_3(x) de grau \le 2 tal que L_i(j)=\delta_{ij} (igual a 1 quando i=j e 0 quando i\ne j). Escrevemos explicitamente:
L_1(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}=\frac{(x-2)(x-3)}{2},
L_2(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}=- (x-1)(x-3),
L_3(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}=\frac{(x-1)(x-2)}{2}.
Verificação rápida (faça na prova passo a passo): por exemplo L_1(1)=1 porque o numerador vira (1-2)(1-3)=(-1)(-2)=2 e o denominador também é 2; e L_1(2)=0 porque o fator (x-2) anula o numerador, etc. Assim cada L_i vale 1 em x=i e 0 nos outros dois pontos.
Agora, para o triplo dado (y_1,y_2,y_3), considere o polinômio
p(x) = y_1 L_1(x) + y_2 L_2(x) + y_3 L_3(x).
Esse p é combinação linear de polinômios de grau \le 2, logo tem grau \le 2. Além disso, avaliando em x=1,2,3 obtemos
p(1)=y_1 L_1(1)+y_2 L_2(1)+y_3 L_3(1)=y_1\cdot 1 + y_2\cdot 0 + y_3\cdot 0 = y_1,
e de modo análogo p(2)=y_2, p(3)=y_3. Portanto T(p)=(y_1,y_2,y_3). Como o triplo arbitrário foi qualquer elemento de \mathbb{R}^3, isso prova que T é sobrejetiva.

Passo 6

Comentário extra (argumento alternativo e intuitivo que você pode usar na prova): P_2 é um espaço vetorial de dimensão 3 (base típica \{1,x,x^2\}). O contradomínio \mathbb{R}^3 tem dimensão 3. Para uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão finita, injetividade implica sobrejetividade e vice‑versa. Assim bastaria provar injetividade (ou sobrejetividade) para concluir que a outra propriedade também vale. No Passo 4 provamos injetividade diretamente, então por essa observação alternativa T também é sobrejetiva.

Resposta

T: P_2 \to \mathbb{R}^3,\; T(p)=(p(1),p(2),p(3)).
Domínio: P_2=\{p\in\mathbb{R}[x]\mid \deg p\le 2\}.
Contradomínio: \mathbb{R}^3.
Tipo: bijetiva.

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