Para cada um dos itens abaixo, defina (indicando domínio e contradomínio) e determine se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva uma função que a cada:
polinômio
de grau 0,1 ou 2 associa
;
polinômio
Passo 1
O enunciado pede: definir (com domínio e contradomínio) e determinar se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva a função que a cada polinômio de grau
,
ou
associa o triplo
.
Informações dadas: polinômios com grau igual a
,
ou
(ou seja, grau menor ou igual a
); a imagem pedida para cada polinômio é o vetor formado pelos valores de
nos pontos
, isto é
.
Perguntas explícitas: (i) definir a função, indicando domínio e contradomínio; (ii) decidir se a função é injetiva; (iii) decidir se é sobrejetiva; (iv) decidir se é bijetiva.
Informações dadas: polinômios
Perguntas explícitas: (i) definir a função, indicando domínio e contradomínio; (ii) decidir se a função é injetiva; (iii) decidir se é sobrejetiva; (iv) decidir se é bijetiva.
Passo 2
Definição do conjunto de partida (domínio) e do conjunto de chegada (contradomínio), e definição explícita da função.
Denotemos por o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais e grau menor ou igual a
. Assim cada
tem a forma
com
.
Definimos a função por
Denotemos por
Definimos a função
Aqui o domínio é
e o contradomínio é
.
Passo 3
Lembrete didático: o que significam injetiva, sobrejetiva e bijetiva (de forma simples).
- Uma função
é injetiva (ou um-para-um) se polinômios diferentes dão imagens diferentes; formalmente, . -
é sobrejetiva (ou “sobre”) se todo vetor é imagem de algum polinômio ; isto é, para todo existe tal que . -
é bijetiva se for simultaneamente injetiva e sobrejetiva.
Vou provar injetividade e sobrejetividade de formas que você possa reproduzir na prova.
Passo 4
Prova de injetividade — ideia e argumento passo a passo.
Estratégia: mostrar que se então
é o polinômio nulo; isso significa que o núcleo (kernel) de
é somente o polinômio zero, o que implica injetividade. Agora o detalhe elementar:
Estratégia: mostrar que se
Suponha
e
. Isso significa que
Ou seja,
são raízes de
. Mas um polinômio não nulo de grau
não pode ter três raízes distintas: um polinômio de grau
(constante) se for não nulo nunca se anula; um de grau
tem no máximo uma raiz; um de grau
tem no máximo duas raízes distintas. Outra forma direta de ver isso é: se um polinômio
não nulo tem raízes
, então o polinômio
divide
, o que força o grau de
a ser pelo menos o número de raízes distintas; aqui ter três raízes distintas forçaria grau
, contradizendo
. Portanto a única possibilidade compatível é que
seja o polinômio nulo (todos os coeficientes nulos). Assim o único elemento do núcleo é o polinômio zero.
Ter núcleo trivial (
) mostra que
é injetiva. (Dica prática para prova: escreva "se
então
" e aplique o argumento anterior para concluir
, logo
.)
Passo 5
Prova de sobrejetividade usando interpolação (Lagrange) — construção explícita do pré-imagem.
Queremos mostrar: dado qualquer , existe
com
.
Queremos mostrar: dado qualquer
A construção clássica é a interpolação de Lagrange: definimos três polinômios base
de grau
tal que
(igual a
quando
e
quando
). Escrevemos explicitamente:
Verificação rápida (faça na prova passo a passo): por exemplo
porque o numerador vira
e o denominador também é
; e
porque o fator
anula o numerador, etc. Assim cada
vale
em
e
nos outros dois pontos.
Agora, para o triplo dado
, considere o polinômio
Esse
é combinação linear de polinômios de grau
, logo tem grau
. Além disso, avaliando em
obtemos
e de modo análogo
,
. Portanto
. Como o triplo arbitrário foi qualquer elemento de
, isso prova que
é sobrejetiva.
Passo 6
Comentário extra (argumento alternativo e intuitivo que você pode usar na prova):
é um espaço vetorial de dimensão
(base típica
). O contradomínio
tem dimensão
. Para uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão finita, injetividade implica sobrejetividade e vice‑versa. Assim bastaria provar injetividade (ou sobrejetividade) para concluir que a outra propriedade também vale. No Passo 4 provamos injetividade diretamente, então por essa observação alternativa
também é sobrejetiva.
Resposta
Domínio:
Contradomínio:
Tipo: bijetiva.