Para cada um dos itens abaixo, defina (indicando domínio e contradomínio) e determine se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva uma função que a cada:
matriz associa a sua matriz transposta;
Passo 1
O enunciado pede: definir (com domínio e contradomínio) e dizer se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva a função que a cada matriz associa a sua matriz transposta.
Informações fornecidas: existe a operação “transposta” de uma matriz; devemos usar isso para construir uma função entre espaços de matrizes e classificar essa função quanto a injetividade/sobrejetividade/bijetividade. Não se pede um campo específico, nem valores numéricos; só a relação entre matrizes e suas transpostas.
Passo 2
Definição do espaço e da função (aqui escolho o campo dos reais para ficar concreto; o argumento vale para qualquer corpo): seja \,m,n\in\mathbb{N}\, e considere o conjunto das matrizes m\times n com entradas reais, denotado por \,M_{m\times n}(\mathbb{R}).\n
Defino a função
onde, se A=(a_{ij}) com i=1,\dots,m e j=1,\dots,n, então A^{T}=(a_{ji}) é a matriz n\times m obtida trocando linhas por colunas.
Exemplo concreto para fixar a ideia: se
Provar que T é injetiva (ou seja, imagens iguais implicam matrizes iguais).
Lembre-se do que significa injetividade: T é injetiva se, sempre que T(A)=T(B), então A=B.\n
Começo assumindo T(A)=T(B). Isso significa A^{T}=B^{T}. Agora uso a propriedade elementar da transposição: a transposta da transposta devolve a matriz original. Mais formalmente,
\bigl(A^{T}\bigr)^{T}=A,
porque, entrada a entrada,
\bigl((A^{T})^{T}\bigr)_{ij}=(A^{T})_{ji}=a_{ij}.
Aplicando a operação “transpor” aos dois lados da igualdade A^{T}=B^{T} obtemos \bigl(A^{T}\bigr)^{T}=\bigl(B^{T}\bigr)^{T}, ou seja A=B. Portanto T é injetiva.\n
Intuição curta: cada matriz tem uma única transposta, e se duas matrizes têm a mesma transposta então elas eram a mesma desde o início.
Passo 4
Provar que T é sobrejetiva (ou seja, toda matriz do contradomínio tem alguma pré-imagem).
Lembre-se do que significa sobrejetividade: para cada C\in M_{n\times m}(\mathbb{R}) existe A\in M_{m\times n}(\mathbb{R}) tal que T(A)=C.\n
Se C é qualquer matriz n\times m, proponho tomar A=C^{T}, que é uma matriz m\times n. Verifico:
T(A)=A^{T}=(C^{T})^{T}=C,
usando novamente que a transposta da transposta volta à original. Assim construí explicitamente uma pré-imagem A para qualquer C. Logo T é sobrejetiva.\n
Exemplo para fixar: dada C=\begin{pmatrix}7 & 8\end{pmatrix}\in M_{1\times2}(\mathbb{R}), escolho A=C^{T}=\begin{pmatrix}7\\[4pt]8\end{pmatrix}\in M_{2\times1}(\mathbb{R}) e verifico A^{T}=C.]
Passo 5
Conclusão final sobre bijetividade e observações úteis para a prova.
Como T é injetiva e sobrejetiva entre os espaços indicados, T é bijetiva. Uma observação prática que costuma cair em provas: T é uma involução, isto é,
T\circ T=\mathrm{Id},
pois T(T(A))=(A^{T})^{T}=A. Em particular, quando m=n a função vai de M_{n\times n}(\mathbb{R}) em si mesma e continua sendo bijetiva (e auto-inversa).
Dica rápida para a prova: para provar injetividade, suponha T(A)=T(B) e transponha ambos os lados; para provar sobrejetividade, dado C mostre explicitamente uma pré-imagem A=C^{T}.