Para cada um dos itens abaixo, defina (indicando domínio e contradomínio) e determine se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva uma função que a cada:
subconjunto de \mathbb{R} associa seu complementar;

Passo 1

O enunciado pede: “Para cada um dos itens abaixo, defina (indicando domínio e contradomínio) e determine se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva uma função que a cada subconjunto de \mathbb{R} associa seu complementar.”
Informações relevantes fornecidas:
  • O objeto de entrada são "subconjuntos de \mathbb{R}"; isto sugere o conjunto de todas as partes de \mathbb{R} (o conjunto das partes ou conjunto das partes/powerset).
  • A função associa a cada subconjunto o seu complementar (complemento relativo a \mathbb{R}).
  • É preciso indicar domínio e contradomínio e classificar a função como injetiva, sobrejetiva ou bijetiva.

Passo 2

Definição precisa da função e do espaço onde ela atua.
Definimos o conjunto das partes de \mathbb{R} por \mathcal{P}(\mathbb{R}), isto é, \mathcal{P}(\mathbb{R})=\{A \mid A\subseteq\mathbb{R}\}.
Agora a função:
f:\mathcal{P}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}(\mathbb{R}),\qquad f(A)=A^{c},
onde A^{c} é o complementar de A relativo a \mathbb{R}; ou seja,
A^{c}=\{x\in\mathbb{R}\mid x\notin A\}.

Passo 3

Recordando as definições úteis (explicadas de forma simples):
  • Injetiva (ou um-para-um): f é injetiva se elementos distintos do domínio têm imagens distintas; formalmente, se f(A)=f(B) implica A=B.
  • Sobrejetiva (ou “sobre”): f é sobrejetiva se para qualquer elemento C do contradomínio existe pelo menos um A no domínio tal que f(A)=C.
  • Bijetiva: quando f é simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Uma consequência prática: bijeções têm inversa bem definida.

Passo 4

Prova de injetividade (passo a passo e didático).
Queremos mostrar que, se f(A)=f(B), então A=B. Começamos assumindo
f(A)=f(B)\quad\Longrightarrow\quad A^{c}=B^{c}.
Agora aplicamos a operação de complementar novamente aos dois lados. Usamos a propriedade lógica e de conjuntos chamada “duplo complemento”, que diz que o complementar do complementar devolve o conjunto original. Em palavras: se um elemento não está fora de A (isto é, está em A^{c} ), então o complementar desse conjunto volta para A. Formalmente:
(A^{c})^{c}=A,\qquad (B^{c})^{c}=B.
Aplicando o complementar em ambos os lados da igualdade A^{c}=B^{c} obtemos
(A^{c})^{c}=(B^{c})^{c}\quad\Longrightarrow\quad A=B.
Portanto f é injetiva. (Comentário prático: aplicar complemento duas vezes anula a operação.)

Passo 5

Prova de sobrejetividade (passo a passo e didático).
Tomemos um elemento arbitrário C\in\mathcal{P}(\mathbb{R}) (ou seja, um subconjunto qualquer de \mathbb{R}). Precisamos encontrar A\subseteq\mathbb{R} tal que f(A)=C. Uma escolha natural e eficaz é tomar A=C^{c}. Então
f(A)=f(C^{c})=(C^{c})^{c}=C,
novamente usando a propriedade do duplo complemento. Assim, para cada C existe um A (especificamente A=C^{c}) com f(A)=C. Logo f é sobrejetiva.

Passo 6

Conclusão sobre bijetividade e observação prática.
Como mostramos que f é injetiva e sobrejetiva, concluímos que f é bijetiva. Uma observação útil para a prova: f é sua própria inversa, pois para todo A
f(f(A)) = f(A^{c}) = (A^{c})^{c} = A.
Isto é, f^{-1}=f. Em linguagem coloquial: trocar pelo complementar duas vezes “volta ao original”.

Resposta

f:\mathcal{P}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}(\mathbb{R}) definida por f(A)=A^{c}.
A função é bijetiva (portanto injetiva e sobrejetiva).

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