Para cada um dos itens abaixo, defina (indicando domínio e contradomínio) e determine se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva uma função que a cada:
subconjunto de
associa seu complementar;
subconjunto de
Passo 1
O enunciado pede: “Para cada um dos itens abaixo, defina (indicando domínio e contradomínio) e determine se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva uma função que a cada subconjunto de
associa seu complementar.”
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O objeto de entrada são "subconjuntos de
"; isto sugere o conjunto de todas as partes de (o conjunto das partes ou conjunto das partes/powerset). - A função associa a cada subconjunto o seu complementar (complemento relativo a
). - É preciso indicar domínio e contradomínio e classificar a função como injetiva, sobrejetiva ou bijetiva.
Passo 2
Definição precisa da função e do espaço onde ela atua.
Definimos o conjunto das partes de por
, isto é,
.
Agora a função:
Definimos o conjunto das partes de
Agora a função:
onde
é o complementar de
relativo a
; ou seja,
Passo 3
Recordando as definições úteis (explicadas de forma simples):
- Injetiva (ou um-para-um):
é injetiva se elementos distintos do domínio têm imagens distintas; formalmente, se implica . - Sobrejetiva (ou “sobre”):
é sobrejetiva se para qualquer elemento do contradomínio existe pelo menos um no domínio tal que . - Bijetiva: quando
é simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Uma consequência prática: bijeções têm inversa bem definida.
Passo 4
Prova de injetividade (passo a passo e didático).
Queremos mostrar que, se , então
. Começamos assumindo
Queremos mostrar que, se
Agora aplicamos a operação de complementar novamente aos dois lados. Usamos a propriedade lógica e de conjuntos chamada “duplo complemento”, que diz que o complementar do complementar devolve o conjunto original. Em palavras: se um elemento não está fora de
(isto é, está em
), então o complementar desse conjunto volta para
. Formalmente:
Aplicando o complementar em ambos os lados da igualdade
obtemos
Portanto
é injetiva. (Comentário prático: aplicar complemento duas vezes anula a operação.)
Passo 5
Prova de sobrejetividade (passo a passo e didático).
Tomemos um elemento arbitrário (ou seja, um subconjunto qualquer de
). Precisamos encontrar
tal que
. Uma escolha natural e eficaz é tomar
. Então
Tomemos um elemento arbitrário
novamente usando a propriedade do duplo complemento. Assim, para cada
existe um
(especificamente
) com
. Logo
é sobrejetiva.
Passo 6
Conclusão sobre bijetividade e observação prática.
Como mostramos que é injetiva e sobrejetiva, concluímos que
é bijetiva. Uma observação útil para a prova:
é sua própria inversa, pois para todo
Como mostramos que
Isto é,
. Em linguagem coloquial: trocar pelo complementar duas vezes “volta ao original”.
Resposta
A função é bijetiva (portanto injetiva e sobrejetiva).