Em cada um dos itens abaixo, descreva como o gráfico da função g é obtido a partir do gráfico da função f.
g(x, y)=f(x-3, y)

Passo 1

O enunciado pede que eu descreva como o gráfico da função g é obtido a partir do gráfico da função f. A informação dada é:
g(x,y)=f(x-3,y).
Informações relevantes que eu tenho a partir do enunciado:
  • f é uma função de duas variáveis (x,y).
  • O “gráfico” de f é o conjunto de pontos (x,y,z) no espaço tridimensional que satisfazem z=f(x,y).
  • A função g é definida em termos de f com a primeira coordenada substituída por x-3.
    Não vou resolver nada ainda; só listei o que o enunciado fornece e o que é pedido.

Passo 2

Vamos lembrar exatamente o que significa “gráfico” para funções de duas variáveis. O gráfico de uma função h(x,y) é o conjunto de pontos
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=h(x,y)\}.
Isso é uma superfície no espaço. Por exemplo, se h(x,y)=x^2+y^2, o gráfico é um paraboloide cujos pontos têm coordenadas (x,y,x^2+y^2).

Passo 3

Agora escrevo a relação entre os gráficos de f e g. Um ponto (x,y,z) pertence ao gráfico de g exatamente quando
z=g(x,y)=f(x-3,y).
Portanto, para esse ponto (x,y,z) existe um ponto (u,y,z) com u=x-3 tal que
z=f(u,y).
Isto mostra uma relação direta entre pontos do gráfico de g e pontos do gráfico de f.

Passo 4

Faço a mudança de variável explícita. Defino
u = x-3 \quad\Longleftrightarrow\quad x = u+3.
Se (u,y,z) está no gráfico de f (ou seja, z=f(u,y)), então o ponto (x,y,z)=(u+3,y,z) satisfaz
z = f(u,y) = f(x-3,y),
logo (u+3,y,z) está no gráfico de g. Assim cada ponto (u,y,z) do gráfico de f corresponde ao ponto (u+3,y,z) do gráfico de g.

Passo 5

Interpretação geométrica direta: a transformação (u,y,z)\mapsto(u+3,y,z) é uma translação rígida do espaço ao longo do eixo x em +3 unidades. Em palavras simples: pegue cada ponto do gráfico de f e mova-o 3 unidades para a direita (no sentido positivo do eixo x), mantendo as coordenadas y e z iguais.

Passo 6

Uma forma curta de fixar a ideia: substituir x por x-3 dentro da função provoca um deslocamento para a direita de 3 no eixo x. Isso é análogo ao caso unidimensional onde a função t\mapsto f(t-3) é o gráfico de f deslocado 3 unidades para a direita.

Passo 7

Exemplo concreto para visualizar: suponha f(x,y)=x^2+y^2. O gráfico de f tem vértice no ponto (0,0,0). A função
g(x,y)=(x-3)^2+y^2
tem vértice no ponto (3,0,0). Ou seja, o paraboloide foi deslocado 3 unidades na direção positiva do eixo x.

Passo 8

Resumo prático de como obter o gráfico de g a partir do de f: desenhe o gráfico de f e então translade (desloque) toda a superfície em 3 unidades na direção positiva do eixo x. Não há reflexão, escala ou alteração em y ou z: é apenas uma translação horizontal (no eixo x).

Resposta

O gráfico de g é o gráfico de f transladado 3 unidades no sentido positivo do eixo x.

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