Em cada um dos itens abaixo, descreva como o gráfico da função
é obtido a partir do gráfico da função
.
Passo 1
O enunciado pede que eu descreva como o gráfico da função
é obtido a partir do gráfico da função
. A informação dada é:
Informações relevantes que eu tenho a partir do enunciado:
-
é uma função de duas variáveis . - O “gráfico” de
é o conjunto de pontos no espaço tridimensional que satisfazem . - A função
é definida em termos de com a primeira coordenada substituída por .
Não vou resolver nada ainda; só listei o que o enunciado fornece e o que é pedido.
Passo 2
Vamos lembrar exatamente o que significa “gráfico” para funções de duas variáveis. O gráfico de uma função
é o conjunto de pontos
Isso é uma superfície no espaço. Por exemplo, se
, o gráfico é um paraboloide cujos pontos têm coordenadas
.
Passo 3
Agora escrevo a relação entre os gráficos de
e
. Um ponto
pertence ao gráfico de
exatamente quando
Portanto, para esse ponto
existe um ponto
com
tal que
Isto mostra uma relação direta entre pontos do gráfico de
e pontos do gráfico de
.
Passo 4
Faço a mudança de variável explícita. Defino
Se
está no gráfico de
(ou seja,
), então o ponto
satisfaz
logo
está no gráfico de
. Assim cada ponto
do gráfico de
corresponde ao ponto
do gráfico de
.
Passo 5
Interpretação geométrica direta: a transformação
é uma translação rígida do espaço ao longo do eixo
em
unidades. Em palavras simples: pegue cada ponto do gráfico de
e mova-o 3 unidades para a direita (no sentido positivo do eixo
), mantendo as coordenadas
e
iguais.
Passo 6
Uma forma curta de fixar a ideia: substituir
por
dentro da função provoca um deslocamento para a direita de
no eixo
. Isso é análogo ao caso unidimensional onde a função
é o gráfico de
deslocado 3 unidades para a direita.
Passo 7
Exemplo concreto para visualizar: suponha
. O gráfico de
tem vértice no ponto
. A função
tem vértice no ponto
. Ou seja, o paraboloide foi deslocado 3 unidades na direção positiva do eixo
.
Passo 8
Resumo prático de como obter o gráfico de
a partir do de
: desenhe o gráfico de
e então translade (desloque) toda a superfície em
unidades na direção positiva do eixo
. Não há reflexão, escala ou alteração em
ou
: é apenas uma translação horizontal (no eixo
).
Resposta
O gráfico de
é o gráfico de
transladado
unidades no sentido positivo do eixo
.