Em cada um dos itens abaixo, descreva como o gráfico da função g é obtido a partir do gráfico da função f.
g(x, y)=f(x+3, y-2)

Passo 1

O enunciado dá a função g em termos de f:
g(x,y)=f(x+3,y-2).
A pergunta é: descreva como o gráfico de g é obtido a partir do gráfico de f. Informações relevantes: ambas são funções de duas variáveis (domínio em (x,y)) e o “gráfico” de uma função h(x,y) é a superfície formada pelos pontos (x,y,h(x,y)) no espaço tridimensional.

Passo 2

Vamos entender a ideia geral de “substituir as variáveis” dentro de f. Se eu definir novas variáveis
u = x+3,\qquad v = y-2,
então a expressão dentro de f fica f(u,v). Essa mudança de variáveis nos ajuda a relacionar pontos do gráfico de f com pontos do gráfico de g. Aqui u e v são apenas nomes para os argumentos usados por f.

Passo 3

Escrevendo g em termos de u,v obtemos
g(x,y)=f(u,v)\quad\text{com}\quad u=x+3,\; v=y-2.
Um ponto genérico do gráfico de f tem coordenadas (u,v,f(u,v)). Queremos achar o ponto correspondente no gráfico de g.

Passo 4

Para achar a correspondência, resolvemos u e v em função de x e y:
u=x+3 \implies x=u-3,\qquad v=y-2 \implies y=v+2.
Portanto, o ponto (u,v,f(u,v)) do gráfico de f corresponde ao ponto
(x,y,g(x,y))=(u-3,\;v+2,\;f(u,v))
no gráfico de g. Ou seja, para cada ponto (u,v,f(u,v)) do gráfico de f eu obtenho um ponto do gráfico de g deslocando as coordenadas horizontais por (-3,+2) e mantendo a mesma altura z=f(u,v).

Passo 5

Intuição prática: substituir x por x+3 desloca o gráfico 3 unidades no sentido negativo do eixo x (ou seja, “para a esquerda” 3 unidades). Substituir y por y-2 desloca o gráfico 2 unidades no sentido positivo do eixo y (ou seja, “para cima” 2 unidades). O valor de z (a altura) não é alterado além dessa realocação espacial: os z permanecem iguais aos de f para os pontos correspondentes.

Passo 6

Exemplo concreto para fixar: tome f(x,y)=x+y. Para u=2,\;v=1 temos um ponto do gráfico de f: (2,1,3) porque f(2,1)=3. No gráfico de g o ponto correspondente é
(x,y,z)=(2-3,\;1+2,\;3)=(-1,3,3),
ou seja, o ponto foi deslocado por (-3,2,0). Isso ilustra a regra geral.

Passo 7

Conclusão operacional: para obter o gráfico de g a partir do gráfico de f, pegue cada ponto do gráfico de f e traduza-o pelo vetor (-3,2,0) (3 unidades para a esquerda no eixo x, 2 unidades para cima no eixo y, sem movimento em z).

Resposta

O gráfico de g é o gráfico de f transladado 3 unidades para a esquerda ao longo do eixo x e 2 unidades para cima ao longo do eixo y (translação pelo vetor (-3,2,0)).

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