Em cada um dos itens abaixo, descreva como o gráfico da função
é obtido a partir do gráfico da função
.
Passo 1
O enunciado dá a função
em termos de
:
A pergunta é: descreva como o gráfico de
é obtido a partir do gráfico de
. Informações relevantes: ambas são funções de duas variáveis (domínio em
) e o “gráfico” de uma função
é a superfície formada pelos pontos
no espaço tridimensional.
Passo 2
Vamos entender a ideia geral de “substituir as variáveis” dentro de
. Se eu definir novas variáveis
então a expressão dentro de
fica
. Essa mudança de variáveis nos ajuda a relacionar pontos do gráfico de
com pontos do gráfico de
. Aqui
e
são apenas nomes para os argumentos usados por
.
Passo 3
Escrevendo
em termos de
obtemos
Um ponto genérico do gráfico de
tem coordenadas
. Queremos achar o ponto correspondente no gráfico de
.
Passo 4
Para achar a correspondência, resolvemos
e
em função de
e
:
Portanto, o ponto
do gráfico de
corresponde ao ponto
no gráfico de
. Ou seja, para cada ponto
do gráfico de
eu obtenho um ponto do gráfico de
deslocando as coordenadas horizontais por
e mantendo a mesma altura
.
Passo 5
Intuição prática: substituir
por
desloca o gráfico 3 unidades no sentido negativo do eixo
(ou seja, “para a esquerda” 3 unidades). Substituir
por
desloca o gráfico 2 unidades no sentido positivo do eixo
(ou seja, “para cima” 2 unidades). O valor de
(a altura) não é alterado além dessa realocação espacial: os
permanecem iguais aos de
para os pontos correspondentes.
Passo 6
Exemplo concreto para fixar: tome
. Para
temos um ponto do gráfico de
:
porque
. No gráfico de
o ponto correspondente é
ou seja, o ponto foi deslocado por
. Isso ilustra a regra geral.
Passo 7
Conclusão operacional: para obter o gráfico de
a partir do gráfico de
, pegue cada ponto do gráfico de
e traduza-o pelo vetor
(3 unidades para a esquerda no eixo
, 2 unidades para cima no eixo
, sem movimento em
).
Resposta
O gráfico de
é o gráfico de
transladado 3 unidades para a esquerda ao longo do eixo
e 2 unidades para cima ao longo do eixo
(translação pelo vetor
).