Em cada um dos itens abaixo, descreva como o gráfico da função
é obtido a partir do gráfico da função
.
Passo 1
O enunciado pede: descrever como o gráfico da função
é obtido a partir do gráfico da função
, dado que
Informações relevantes fornecidas: temos duas funções de duas variáveis,
e
, e a relação algébrica entre elas é simplesmente um acréscimo de
ao valor de
em cada ponto
.
Passo 2
Vamos lembrar o que é o gráfico de uma função de duas variáveis. O gráfico de
é o subconjunto de
formado por todos os pontos do tipo
ou seja, para cada ponto
no domínio associamos a altura
. Analogamente, o gráfico de
é o conjunto de pontos
Passo 3
Agora veja a relação ponto a ponto entre os dois gráficos. Se
é um ponto do gráfico de
, então o correspondente ponto no gráfico de
é
Ou seja, a coordenada
e a coordenada
permanecem iguais, e apenas a coordenada
é incrementada em
.
Passo 4
Interpretando geometricamente: somar
ao valor da função significa deslocar cada ponto do gráfico para cima uma unidade na direção vertical (direção
). Em termos de vetores, aplicamos a translação
que é a translação pelo vetor
em
.
Passo 5
Consequências práticas que ajudam na prova:
- Para desenhar o gráfico de
a partir do de : pegue cada ponto do gráfico de e mova-o uma unidade para cima. - Se você olhar secções verticais (fixando
e ou fixando uma reta no plano ), cada curva ficará a uma unidade acima: . - Nas curvas de nível (contornos) do tipo
, as curvas de satisfazem . Logo, as curvas de nível têm a mesma forma no plano , mas os valores de nível são deslocados em .
Passo 6
Exemplo concreto para fixar a ideia: se
(um paraboloide com vértice em
), então
é o mesmo paraboloide, agora com o vértice em
. Visualize: todo o “copinho” de
sobe uma unidade.
Resposta
O gráfico de
é o gráfico de
transladado uma unidade para cima na direção
(translação pelo vetor
).