Em cada um dos itens abaixo, descreva como o gráfico da função g é obtido a partir do gráfico da função f.
g(x, y)=f(x, y)+1

Passo 1

O enunciado pede: descrever como o gráfico da função g é obtido a partir do gráfico da função f, dado que
g(x,y)=f(x,y)+1.
Informações relevantes fornecidas: temos duas funções de duas variáveis, f e g, e a relação algébrica entre elas é simplesmente um acréscimo de 1 ao valor de f em cada ponto (x,y).

Passo 2

Vamos lembrar o que é o gráfico de uma função de duas variáveis. O gráfico de f é o subconjunto de \mathbb{R}^3 formado por todos os pontos do tipo
(x,y,f(x,y)),
ou seja, para cada ponto (x,y) no domínio associamos a altura z=f(x,y). Analogamente, o gráfico de g é o conjunto de pontos
(x,y,g(x,y))=(x,y,f(x,y)+1).

Passo 3

Agora veja a relação ponto a ponto entre os dois gráficos. Se (x,y,f(x,y)) é um ponto do gráfico de f, então o correspondente ponto no gráfico de g é
(x,y,f(x,y)+1).
Ou seja, a coordenada x e a coordenada y permanecem iguais, e apenas a coordenada z é incrementada em 1.

Passo 4

Interpretando geometricamente: somar 1 ao valor da função significa deslocar cada ponto do gráfico para cima uma unidade na direção vertical (direção z). Em termos de vetores, aplicamos a translação
(x,y,z)\longmapsto (x,y,z+1),
que é a translação pelo vetor (0,0,1) em \mathbb{R}^3.

Passo 5

Consequências práticas que ajudam na prova:
  • Para desenhar o gráfico de g a partir do de f: pegue cada ponto do gráfico de f e mova-o uma unidade para cima.
  • Se você olhar secções verticais (fixando x e y ou fixando uma reta no plano xy), cada curva z=f(\cdot) ficará a uma unidade acima: z=g(\cdot)=f(\cdot)+1.
  • Nas curvas de nível (contornos) do tipo f(x,y)=c, as curvas de g satisfazem g(x,y)=c\iff f(x,y)=c-1. Logo, as curvas de nível têm a mesma forma no plano xy, mas os valores de nível são deslocados em +1.

Passo 6

Exemplo concreto para fixar a ideia: se f(x,y)=x^2+y^2 (um paraboloide com vértice em z=0), então
g(x,y)=x^2+y^2+1
é o mesmo paraboloide, agora com o vértice em z=1. Visualize: todo o “copinho” de f sobe uma unidade.

Resposta

O gráfico de g é o gráfico de f transladado uma unidade para cima na direção z (translação pelo vetor (0,0,1)).

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