Em cada um dos itens abaixo, descreva como o gráfico da função g é obtido a partir do gráfico da função f.
g(x, y)=f(x, y)-4

Passo 1

O que o enunciado pede: descrever como o gráfico da função g é obtido a partir do gráfico da função f.
Informações dadas no enunciado:
g(x,y)=f(x,y)-4.
O que preciso explicar: a relação geométrica entre o gráfico de f e o gráfico de g (ou seja, como transformar o gráfico de f para obter o de g). Não vou resolver nada numérico aqui, só identificar o pedido e os dados.

Passo 2

O que é o gráfico de uma função de duas variáveis: o gráfico de f é o conjunto de pontos no espaço tridimensional \mathbb{R}^3 definidos por
\text{Gr}(f)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=f(x,y)\}.
Isto significa: para cada par (x,y) no domínio, colocamos no espaço o ponto cuja altura z vale f(x,y). Pense nesse gráfico como uma superfície no espaço.

Passo 3

Use a relação entre f e g para relacionar os pontos dos gráficos. Se (x,y,z) está no gráfico de f, então
z=f(x,y).
Para a função g temos
z'=g(x,y)=f(x,y)-4.
Substituindo f(x,y)=z obtemos
z'=z-4.
Ou seja, ao mesmo par (x,y) corresponde em g uma altura que é exatamente 4 unidades menor que a altura em f.

Passo 4

Escrever isso como relação entre conjuntos (gráficos). A partir de z'=z-4 segue que
\text{Gr}(g)=\{(x,y,z')\in\mathbb{R}^3 \mid z'=f(x,y)-4\}.
Usando z'=z-4 com z=f(x,y) dá também
\text{Gr}(g)=\{(x,y,z-4)\mid (x,y,z)\in\text{Gr}(f)\}.
Outra forma equivalente é
\text{Gr}(g)=\{(x,y,z)\mid (x,y,z+4)\in\text{Gr}(f)\}.
Essas fórmulas mostram explicitamente que cada ponto do gráfico de f é deslocado ao longo da direção z.

Passo 5

Interpretação geométrica simples e prática: o gráfico de g é o gráfico de f transladado verticalmente para baixo em 4 unidades. Em linguagem de vetores, o gráfico é deslocado pela transformação
(x,y,z)\mapsto (x,y,z-4),
ou seja, por um vetor de translação (0,0,-4). Note que as coordenadas x e y não mudam — apenas a altura z diminui de 4.

Passo 6

Exemplo numérico concreto para fixar a ideia: suponha que f(1,2)=7. Então o ponto (1,2,7) pertence a \text{Gr}(f). Para g temos
g(1,2)=f(1,2)-4=7-4=3,
logo o ponto correspondente em \text{Gr}(g) é (1,2,3), que é exatamente (1,2,7) deslocado 4 unidades para baixo.

Passo 7

Consequências úteis na prova (coisas que mudam e que não mudam):
  • A forma da superfície não muda: é a mesma “curvatura”, os mesmos vales e molas, só com alturas diferentes.
  • Derivadas parciais não mudam: \displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y}, porque derivar uma constante -4 dá zero. Isso é útil se a prova pedir declividade ou normal da superfície.
  • Curvas de nível (contornos) mudam apenas no valor do nível: a curva de nível g(x,y)=k é exatamente a mesma curva de nível de f para o nível k+4, pois
g(x,y)=k \iff f(x,y)-4=k \iff f(x,y)=k+4.

Passo 8

Como desenhar na prática (passo a passo rápido para a prova):
  1. Pegue o esboço do gráfico de f.
  2. Para cada ponto do esboço, mova-o verticalmente para baixo 4 unidades (na direção do eixo z).
  3. As projeções sobre o plano xy permanecem iguais; apenas as alturas mudam.
  4. Se estiver desenhando curvas de nível, mantenha as mesmas curvas, mas troque cada rótulo c por c-4 (ou, visto ao contrário, a curva rotulada c em g corresponde à curva rotulada c+4 em f).

Resposta

O gráfico de g é o gráfico de f transladado 4 unidades para baixo ao longo do eixo z.

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