Em cada um dos itens abaixo, descreva como o gráfico da função
é obtido a partir do gráfico da função
.
Passo 1
O que o enunciado pede: descrever como o gráfico da função
é obtido a partir do gráfico da função
.
Informações dadas no enunciado:
O que preciso explicar: a relação geométrica entre o gráfico de
e o gráfico de
(ou seja, como transformar o gráfico de
para obter o de
). Não vou resolver nada numérico aqui, só identificar o pedido e os dados.
Passo 2
O que é o gráfico de uma função de duas variáveis: o gráfico de
é o conjunto de pontos no espaço tridimensional
definidos por
Isto significa: para cada par
no domínio, colocamos no espaço o ponto cuja altura
vale
. Pense nesse gráfico como uma superfície no espaço.
Passo 3
Use a relação entre
e
para relacionar os pontos dos gráficos. Se
está no gráfico de
, então
Para a função
temos
Substituindo
obtemos
Ou seja, ao mesmo par
corresponde em
uma altura que é exatamente
unidades menor que a altura em
.
Passo 4
Escrever isso como relação entre conjuntos (gráficos). A partir de
segue que
Usando
com
dá também
Outra forma equivalente é
Essas fórmulas mostram explicitamente que cada ponto do gráfico de
é deslocado ao longo da direção
.
Passo 5
Interpretação geométrica simples e prática: o gráfico de
é o gráfico de
transladado verticalmente para baixo em
unidades. Em linguagem de vetores, o gráfico é deslocado pela transformação
ou seja, por um vetor de translação
. Note que as coordenadas
e
não mudam — apenas a altura
diminui de
.
Passo 6
Exemplo numérico concreto para fixar a ideia: suponha que
. Então o ponto
pertence a
. Para
temos
logo o ponto correspondente em
é
, que é exatamente
deslocado 4 unidades para baixo.
Passo 7
Consequências úteis na prova (coisas que mudam e que não mudam):
- A forma da superfície não muda: é a mesma “curvatura”, os mesmos vales e molas, só com alturas diferentes.
- Derivadas parciais não mudam:
e , porque derivar uma constante dá zero. Isso é útil se a prova pedir declividade ou normal da superfície. - Curvas de nível (contornos) mudam apenas no valor do nível: a curva de nível
é exatamente a mesma curva de nível de para o nível , pois
Passo 8
Como desenhar na prática (passo a passo rápido para a prova):
- Pegue o esboço do gráfico de
. - Para cada ponto do esboço, mova-o verticalmente para baixo
unidades (na direção do eixo ). - As projeções sobre o plano
permanecem iguais; apenas as alturas mudam. - Se estiver desenhando curvas de nível, mantenha as mesmas curvas, mas troque cada rótulo
por (ou, visto ao contrário, a curva rotulada em corresponde à curva rotulada em ).
Resposta
O gráfico de
é o gráfico de
transladado
unidades para baixo ao longo do eixo
.