Para cada um dos itens abaixo, determine as assíntotas verticais e horizontais, caso existam.
f(x)=\frac{2 x+1}{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{2x+1}{x}
com domínio \{x\neq0\}. Precisamos encontrar as assíntotas verticais (pontos onde f explode, isto é, onde o denominador zera) e as assíntotas horizontais (comportamento de f(x) quando x\to\pm\infty).

Passo 2

Para achar assíntota vertical buscamos as raízes do denominador, ou seja x=0. Devemos verificar os limites laterais em x=0:
\lim_{x\to0^+}f(x) \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^-}f(x).

Passo 3

Escrevendo
f(x)=2+\frac1x,
temos
\lim_{x\to0^+}\Bigl(2+\frac1x\Bigr)=+\infty, \quad \lim_{x\to0^-}\Bigl(2+\frac1x\Bigr)=-\infty.
Como os limites laterais divergem, x=0 é assíntota vertical.

Passo 4

Para assíntota horizontal calculamos o comportamento em x\to\pm\infty:
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(2+\frac1x\Bigr)=2, \quad \lim_{x\to-\infty}\Bigl(2+\frac1x\Bigr)=2.
Como ambos os limites tendem a 2, a reta y=2 é assíntota horizontal.

Resposta

Assíntota vertical: x=0
Assíntota horizontal: y=2

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