Para cada um dos itens abaixo, determine as assíntotas verticais e horizontais, caso existam.
f(x)=\frac{2 x+3}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=\frac{2x+3}{x^2-1}.
Lembrando que assíntoas verticais ocorrem onde o denominador zera (e o numerador não anula lá) e assíntotas horizontais vêm dos limites de f(x) quando x\to\pm\infty.

Passo 2

Para achar as assíntotas verticais, resolvemos
x^2-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm1.
Como o numerador em x=1 é 2\cdot1+3=5\neq0 e em x=-1 é 2(-1)+3=1\neq0, teremos de fato comportamento infinito nesses pontos.

Passo 3

Confirmando que em x\to1^\pm e x\to(-1)^\pm o valor de f(x) vai para \pm\infty, concluímos que existem assíntotas verticais em
x=1 \quad\text{e}\quad x=-1.

Passo 4

Para a assíntota horizontal, observamos que o grau do denominador 2 é maior que o grau do numerador 1, logo
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0.
Isso significa que há assíntota horizontal em y=0.

Resposta

Assíntotas verticais: x=1 e x=-1.
Assíntota horizontal: y=0.

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