Para cada um dos itens abaixo, determine as assíntotas verticais e horizontais, caso existam.
f(x)=\frac{3 x^{2}-4}{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar as assíntotas verticais e horizontais de
f(x)=\frac{3x^{2}-4}{1 - x^{2}}.
Para isso vamos:
  1. Encontrar onde o denominador zera (possíveis assíntotas verticais).
  2. Calcular o comportamento de f(x) quando x\to\pm\infty (assíntotas horizontais).

Passo 2

O denominador é 1 - x^{2}. As raízes são as soluções de
1 - x^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 1.
Como o numerador em x=\pm1 é 3(1)-4=-1\neq0, teremos assíntotas verticais nessas abscissas.

Passo 3

Logo, as assíntotas verticais são
x = 1 \quad\text{e}\quad x = -1.

Passo 4

Para as assíntotas horizontais, comparamos os graus de numerador e denominador. Ambos são de grau 2. O termo dominante de f(x) para \lvert x\rvert grande é
\frac{3x^{2}}{-x^{2}} = -3.
Portanto
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) = -3,
o que indica uma assíntota horizontal em y=-3.

Resposta

Assíntotas verticais: x=1 e x=-1.
Assíntota horizontal: y=-3.

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