Para cada um dos itens abaixo, determine as assíntotas verticais e horizontais, caso existam.
f(x)=\frac{1}{1-e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=\frac{1}{1-e^{x}}.
Aqui vamos usar:
– Para assíntota vertical, identificar onde o denominador zera e estudar os limites laterais.
– Para assíntota horizontal, calcular \lim_{x\to\pm\infty}f(x).

Passo 2

Determinar o domínio e a assíntota vertical. O denominador é 1-e^{x}, que se anula quando
1-e^{x}=0\quad\Longrightarrow\quad e^{x}=1\quad\Longrightarrow\quad x=0.
Logo, x=0 não pertence ao domínio, sugerindo uma assíntota vertical. Estudamos os limites:
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}\frac{1}{1-e^{x}} =\frac{1}{1-1^-}=+\infty,
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{1}{1-e^{x}} =\frac{1}{1-1^+}=-\infty.
Isso confirma a assíntota vertical em x=0.

Passo 3

Calcular as assíntotas horizontais pelos limites em x\to\infty e x\to-\infty.
Para x\to+\infty, tem e^{x}\to+\infty, então
1-e^{x}\to -\infty \quad\Longrightarrow\quad f(x)=\frac{1}{1-e^{x}}\to0^-.
Assim, há assíntota horizontal y=0 à direita.
Para x\to-\infty, tem e^{x}\to0, então
1-e^{x}\to1 \quad\Longrightarrow\quad f(x)=\frac{1}{1-e^{x}}\to1.
Assim, há assíntota horizontal y=1 à esquerda.

Resposta

Assíntota vertical: x=0.
Assíntotas horizontais: y=1 (para x\to-\infty) e y=0 (para x\to+\infty).

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