Calcule a integral de linha por comprimento de arco
\int_{C}\left(x^{2} y-x y^{2}\right) e^{x^{2}+y^{2}} d s
onde C é a curva dada:
círculo x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha por comprimento de arco
\int_{C}\bigl(x^{2}y - x y^{2}\bigr)e^{x^{2}+y^{2}}\,ds
onde C é o círculo x^{2}+y^{2}=4. O conteúdo aqui é parametrização de curva e uso de
ds=\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^{2}}\,dt.

Passo 2

Parametrizamos o círculo de raio 2 por
x=2\cos t,\quad y=2\sin t,\quad t\in[0,2\pi].
Calculamos as derivadas:
\frac{dx}{dt}=-2\sin t,\quad \frac{dy}{dt}=2\cos t
e daí
ds=\sqrt{(-2\sin t)^{2}+(2\cos t)^{2}}\,dt =\sqrt{4(\sin^{2}t+\cos^{2}t)}\,dt =2\,dt.

Passo 3

Na parametrização temos x^{2}+y^{2}=4, então e^{x^{2}+y^{2}}=e^{4}. Também
x^{2}y - x y^{2} =(2\cos t)^{2}(2\sin t)-(2\cos t)(2\sin t)^{2} =8\,\sin t\cos t\bigl(\cos t-\sin t\bigr).
Multiplicando por ds=2\,dt e por e^{4}, a integral vira
\int_{0}^{2\pi}8\,\sin t\cos t(\cos t-\sin t)\,e^{4}\;2\,dt =16\,e^{4}\int_{0}^{2\pi}\bigl(\sin t\cos^{2}t-\sin^{2}t\cos t\bigr)\,dt.

Passo 4

Vamos chamar
I=\int_{0}^{2\pi}\sin t\cos^{2}t\,dt, \quad J=\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\cos t\,dt.
Para I, faça u=\cos t, du=-\sin t\,dt, logo
I=-\int_{u(0)=1}^{u(2\pi)=1}u^{2}\,du=0.
De modo análogo, para J use v=\sin t, dv=\cos t\,dt, obtém-se
J=\int_{v(0)=0}^{v(2\pi)=0}v^{2}\,dv=0.
Portanto
\int_{0}^{2\pi}\bigl(\sin t\cos^{2}t-\sin^{2}t\cos t\bigr)\,dt =I-J=0.

Resposta

0

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