__ Questão 2.

Suponha que \rho(x, y) representa a densidade linear num ponto ( x, y ) de um arame fino com o formato de uma curva plana C. Os momentos de inércia em relação aos eixos x e y são definidos por
I_{x}=\int_{C} y^{2} \rho(x, y) d s \quad I_{y}=\int_{C} x^{2} \rho(x, y) d s
Determine os momentos de inércia de um arame com o formato de um semicírculo x^{2}+y^{2}= 1, y \geqslant 0. Se a função densidade linear for \rho(x, y)=k(1-y).

Passo 1

O enunciado pede os momentos de inércia
I_{x}=\int_{C}y^{2}\,\rho(x,y)\,ds \quad\text{e}\quad I_{y}=\int_{C}x^{2}\,\rho(x,y)\,ds
para o arame descrito pelo semicírculo x^{2}+y^{2}=1,\\ y\ge0, com densidade linear \rho(x,y)=k\bigl(1-y\bigr). Vamos usar parametrização por ângulo e cálculo de integrais trigonométricas.

Passo 2

Parametrizamos
x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad t\in[0,\pi].
Nesse caso
ds=\sqrt{\bigl(-\sin t\bigr)^{2}+\bigl(\cos t\bigr)^{2}}\,dt=dt.
Substituindo em I_{x} e I_{y} temos
I_{x} =\int_{0}^{\pi}y^{2}\,\rho\,ds =\int_{0}^{\pi}\sin^{2}t\;k\bigl(1-\sin t\bigr)\,dt
I_{y} =\int_{0}^{\pi}x^{2}\,\rho\,ds =\int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\;k\bigl(1-\sin t\bigr)\,dt.

Passo 3

Calcular I_{x}. Escrevendo
I_{x} =k\int_{0}^{\pi}\bigl(\sin^{2}t-\sin^{3}t\bigr)\,dt =k\Bigl[\int_{0}^{\pi}\sin^{2}t\,dt-\int_{0}^{\pi}\sin^{3}t\,dt\Bigr].
Usamos
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}t\,dt=\frac{\pi}{2}, \quad \int_{0}^{\pi}\sin^{3}t\,dt =\int_{0}^{\pi}\sin t\,(1-\cos^{2}t)\,dt = \frac{4}{3}.
Logo
I_{x} =k\Bigl(\frac{\pi}{2}-\frac{4}{3}\Bigr).

Passo 4

Calcular I_{y}. Escrevendo
I_{y} =k\int_{0}^{\pi}\bigl(\cos^{2}t-\sin t\cos^{2}t\bigr)\,dt =k\Bigl[\int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\,dt-\int_{0}^{\pi}\sin t\cos^{2}t\,dt\Bigr].
Sabemos \int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\,dt=\frac{\pi}{2}. Para a segunda
\int_{0}^{\pi}\sin t\cos^{2}t\,dt =\Bigl[-\frac{\cos^{3}t}{3}\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{2}{3}.
Assim
I_{y} =k\Bigl(\frac{\pi}{2}-\frac{2}{3}\Bigr).

Resposta

I_{x}=k\Bigl(\frac{\pi}{2}-\frac{4}{3}\Bigr), \qquad I_{y}=k\Bigl(\frac{\pi}{2}-\frac{2}{3}\Bigr).

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