__ Questão 2.
Suponha que
representa a densidade linear num ponto (
) de um arame fino com o formato de uma curva plana
. Os momentos de inércia em relação aos eixos
e y são definidos por
Determine os momentos de inércia de um arame com o formato de um semicírculo
. Se a função densidade linear for
.
Passo 1
O enunciado pede os momentos de inércia
para o arame descrito pelo semicírculo
, com densidade linear
. Vamos usar parametrização por ângulo e cálculo de integrais trigonométricas.
Passo 2
Parametrizamos
Nesse caso
Substituindo em
e
temos
Passo 3
Calcular
. Escrevendo
Usamos
Logo
Passo 4
Calcular
. Escrevendo
Sabemos
. Para a segunda
Assim