Em cada um dos itens abaixo, determine se a série converge ou diverge. Você vai perceber que, em alguns casos, mais de um teste pode ser utilizado.
sumn=0^infty n^3 e^-n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=0^infty n^3 e^-n. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries numéricas e, considerando o termo geral com fator exponencial, o teste da razão costuma ser o mais direto.

Passo 2

O teste da razão diz que, para a série com termo geral an, se L=limntoinfty|an+1an| existir e L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o teste da razão ao termo an = n^3 e^-n. Calculamos o quociente dos termos consecutivos:
an+1an =(n+1)^3 e^-(n+1)n^3 e^-n =(n+1)^3n^3cdot e^-1 =l(1+1nr)^3cdot1e

Passo 4

Agora basta tomar o limite quando ntoinfty:
L=limntoinftyl(1+1nr)^3cdot1e =1cdot1e =1e

Passo 5

Como tfrac1e<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge) pelo teste da razão, pois o limite da razão é 1/e<1.

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