Em cada um dos itens abaixo, encontre o polinômio de Taylor de grau n da função f em torno de x_{0}.
f(x)=e^{x^{2}}, \quad n=2, \quad x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau n=2 para a função f(x)=e^{x^2} em torno de x_0=0. O conteúdo envolvido é a expansão de Taylor (Maclaurin, neste caso) que usa a fórmula
P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de f e avaliá-las em x=0:
f(x)=e^{x^2},\quad f'(x)=2x\,e^{x^2},\quad f''(x)=2e^{x^2}+4x^2e^{x^2}.
Agora em x=0:
f(0)=e^0=1,\quad f'(0)=2\cdot0\cdot e^0=0,\quad f''(0)=2e^0+4\cdot0^2e^0=2.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Taylor de grau 2 em x_0=0:
P_2(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2 =1+0\cdot x+\frac{2}{2}x^2 =1+x^2.

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 2 de f(x)=e^{x^2} em torno de 0 é
P_2(x)=1+x^2.

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