Para cada um dos itens abaixo faça o que se pede:
Existe um campo vetorial \vec{F} tal que \operatorname{rot} \vec{F}=2 x \vec{\imath}+3 y z \vec{\jmath}-x z^{2} \vec{k} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe um campo vetorial \vec{F} tal que \operatorname{rot}\vec{F} = 2x\,\vec{\imath} + 3yz\,\vec{\jmath} - xz^{2}\,\vec{k}.
Informações dadas que vamos usar explicitamente: a componente x do vetor alvo é 2x, a componente y é 3yz e a componente z é -xz^{2}. Não há nenhuma outra condição de domínio ou continuidade fornecida no enunciado.

Passo 2

Condição necessária (e a razão teórica): para qualquer campo vetorial suficientemente suave \vec{F}=(P,Q,R) vale a identidade
\operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec{F})\equiv 0.
Vou explicar e provar isso passo a passo: escrevendo \operatorname{rot}\vec{F} em componentes temos
\operatorname{rot}\vec{F}=\bigg(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\bigg).
A divergência desse vetor é a soma das derivadas parciais das três componentes:
\operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec{F})= \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Expandindo e reagrupando os termos obtemos pares iguais com sinais opostos (por troca da ordem das derivadas parciais, válida se as segundas derivadas são contínuas), que se cancelam, dando zero. Por isso é obrigatório que qualquer vetor que seja um rotor tenha divergência nula.

Passo 3

Aplicando essa condição necessária ao vetor dado \vec{G}(x,y,z)=(2x,\,3yz,\,-xz^{2}): calculamos a divergência de \vec{G}:
\operatorname{div}\vec{G}=\frac{\partial}{\partial x}(2x)+\frac{\partial}{\partial y}(3yz)+\frac{\partial}{\partial z}(-xz^{2}).
Calculemos cada termo separadamente:
\frac{\partial}{\partial x}(2x)=2,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(3yz)=3z,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(-xz^{2})=-x\cdot 2z=-2xz.
Somando,
\operatorname{div}\vec{G}=2+3z-2xz.

Passo 4

Concluímos que \operatorname{div}\vec{G}=2+3z-2xz não é identicamente zero em \mathbb{R}^3. Por exemplo, no ponto (x,y,z)=(0,0,0) temos \operatorname{div}\vec{G}=2\neq 0. Como a divergência de um rotor deve ser zero em toda parte, a existência de \vec{F} tal que \operatorname{rot}\vec{F}=\vec{G} é impossível.

Resposta

Não existe tal campo vetorial \vec{F}, pois \operatorname{div}(2x,3yz,-xz^{2})=2+3z-2xz\not\equiv0 (por exemplo, vale 2 em (0,0,0)), enquanto que sempre \operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec{F})=0.

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