Para cada um dos itens abaixo faça o que se pede:
Existe um campo vetorial
tal que
? Justifique.
Existe um campo vetorial
Passo 1
O enunciado pergunta se existe um campo vetorial
tal que
.
Informações dadas que vamos usar explicitamente: a componente do vetor alvo é
, a componente
é
e a componente
é
. Não há nenhuma outra condição de domínio ou continuidade fornecida no enunciado.
Informações dadas que vamos usar explicitamente: a componente
Passo 2
Condição necessária (e a razão teórica): para qualquer campo vetorial suficientemente suave
vale a identidade
Vou explicar e provar isso passo a passo: escrevendo
em componentes temos
A divergência desse vetor é a soma das derivadas parciais das três componentes:
Expandindo e reagrupando os termos obtemos pares iguais com sinais opostos (por troca da ordem das derivadas parciais, válida se as segundas derivadas são contínuas), que se cancelam, dando zero. Por isso é obrigatório que qualquer vetor que seja um rotor tenha divergência nula.
Passo 3
Aplicando essa condição necessária ao vetor dado
: calculamos a divergência de
:
Calculemos cada termo separadamente:
Somando,
Passo 4
Concluímos que
não é identicamente zero em
. Por exemplo, no ponto
temos
. Como a divergência de um rotor deve ser zero em toda parte, a existência de
tal que
é impossível.
Resposta
Não existe tal campo vetorial
, pois
(por exemplo, vale
em
), enquanto que sempre
.