Questão 4. Usando o teorema de Stokes, calcule a integral de linha de campo vetorial ao longo de C onde C é orientada no sentido anti-horário quando visto de cima.
\oint(y+\sin x) d x+\left(z^{2}+\cos y\right) d y+x^{3} d z onde C é a curva \gamma(t)=(\sin t, \cos t, \sin 2 t), 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_C (y+\sin x)\,dx + (z^2+\cos y)\,dy + x^3\,dz
usando o Teorema de Stokes. As informações fornecidas são:
  • O campo vetorial F tem componentes
P(x,y,z)=y+\sin x,\qquad Q(x,y,z)=z^2+\cos y,\qquad R(x,y,z)=x^3.
  • A curva C é dada pela parametrização
\gamma(t) = (\sin t,\;\cos t,\;\sin 2t),\qquad 0\le t\le 2\pi.
  • O enunciado também afirma que C é orientada no sentido anti-horário quando visto de cima.
Observação importante (informação relevante): a projeção de \gamma(t) no plano xy é (\sin t,\cos t). Se você testar rapidamente, verá que, para t aumentando, esse ponto se move para a direita a partir de (0,1) — isto é, aparenta mover-se no sentido horário quando visto de cima. Logo existe uma aparente contradição entre a orientação explicitamente dada (anti-horário vista de cima) e a orientação induzida pela parametrização \gamma(t). Vou proceder usando a parametrização \gamma(t) tal como dada (ou seja, a orientação realmente percorrida por \gamma quando t cresce), e aplicar o Teorema de Stokes respeitando a orientação da superfície que produzir a mesma fronteira orientada. Se você preferir forçar a orientação anti-horária, o resultado muda de sinal; eu explico isso no desenvolvimento.

Passo 2

Enunciado do Teorema de Stokes (forma usada aqui): se S é uma superfície orientada com fronteira \partial S=C e F é um campo vetorial suficientemente suave, então
\oint_{C} F\cdot d\mathbf r \;=\; \iint_{S} (\nabla\times F)\cdot \mathbf n\,dS,
onde \mathbf n\,dS é o elemento de área orientado (vetor normal orientado por S). Para aplicar Stokes precisamos:
  1. calcular \nabla\times F;
  2. escolher uma superfície S cujo contorno seja exatamente C;
  3. usar uma parametrização de S e calcular \mathbf n\,dS (usando o produto vetorial das derivadas parciais);
  4. integrar (\nabla\times F)\cdot(\mathbf n\,dS) sobre o domínio de parametrização.
Explicação didática curtinha: \nabla\times F mede a “rotação local” do campo; a integral dupla do rotacional sobre uma superfície dá a circulação total do campo ao longo da fronteira — é isso que Stokes transforma para nós, trocando uma complicada integral de linha por uma (às vezes) mais simples integral de superfície.

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times F. Pela definição, com F=(P,Q,R),
\nabla\times F = \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Calculamos cada derivada:
\frac{\partial R}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=2z,
\frac{\partial P}{\partial z}=0,\qquad \frac{\partial R}{\partial x}=3x^2,
\frac{\partial Q}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=1.
Substituindo:
\nabla\times F = (0-2z,\;0-3x^2,\;0-1) = (-2z,\;-3x^2,\;-1).
Explicando as componentes: a componente x do rotacional é -2z, a componente y é -3x^2 e a componente z é -1.

Passo 4

Escolha da superfície S. Queremos uma superfície cujo contorno seja exatamente a curva \gamma(t). Uma escolha simples é prender o disco unitário no plano polar e “levantar” o z de forma suave até a valor em \gamma quando r=1. Considere a parametrização
\mathbf S(r,t) = (r\sin t,\; r\cos t,\; r^{2}\sin 2t), \qquad 0\le r\le 1,\; 0\le t\le 2\pi.
Verificação da fronteira: para r=1 obtemos \mathbf S(1,t)=(\sin t,\cos t,\sin 2t)=\gamma(t), então \partial S=C. Essa superfície é suave e simples de parametrizar; o fator r^2 foi escolhido para garantir que z vá a zero no centro r=0 e atinja o valor de \gamma na borda r=1.
Comentário de orientação (importante): a orientação induzida em C depende do sinal de \mathbf S_r\times\mathbf S_t. Como estamos usando a parametrização \gamma(t) dada (com t aumentando), tomaremos a orientação da superfície que produza exatamente essa orientação na fronteira.

Passo 5

Calcular \mathbf S_r, \mathbf S_t e o produto vetorial \mathbf S_r\times\mathbf S_t (que dá \mathbf n\,dS na forma não-normalizada).
Derivadas:
\mathbf S_r = (\sin t,\;\cos t,\;2r\sin 2t),
\mathbf S_t = (r\cos t,\;-r\sin t,\;2r^{2}\cos 2t).
O produto vetorial (faço passo a passo):
\mathbf S_r\times\mathbf S_t = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\[4pt] \sin t & \cos t & 2r\sin 2t\\[4pt] r\cos t & -r\sin t & 2r^{2}\cos 2t \end{vmatrix}.
Calculemos cada componente:
  • Componente \mathbf i:
\cos t\cdot 2r^{2}\cos 2t - (2r\sin 2t)\cdot(-r\sin t) =2r^{2}\cos t\cos 2t + 2r^{2}\sin 2t\sin t.
Usando a identidade \cos A\cos B+\sin A\sin B=\cos(A-B) com A=2t, B=t, obtemos \cos(2t-t)=\cos t. Assim essa componente fica 2r^{2}\cos t.
  • Componente \mathbf j:
(2r\sin 2t)\cdot(r\cos t) - \sin t\cdot 2r^{2}\cos 2t =2r^{2}\sin 2t\cos t - 2r^{2}\sin t\cos 2t.
Usando \sin A\cos B-\sin B\cos A=\sin(A-B) com A=2t, B=t, dá 2r^{2}\sin t. Então essa componente é 2r^{2}\sin t.
  • Componente \mathbf k:
\sin t\cdot(-r\sin t) - \cos t\cdot(r\cos t) = -r(\sin^2 t+\cos^2 t) = -r.
Portanto
\mathbf S_r\times\mathbf S_t = \bigl(2r^{2}\cos t,\;2r^{2}\sin t,\;-r\bigr).
Interpretação da orientação: a componente z desse vetor é -r, negativa para r>0. Isso significa que \mathbf S_r\times\mathbf S_t aponta para baixo (componente z negativa). A orientação de contorno induzida por esse \mathbf n\,dS corresponde exatamente à parametrização \gamma(t) tal como dada (isto é, a orientação real da curva quando t aumenta). Portanto, usando \mathbf S_r\times\mathbf S_t sem mudar o sinal, o Teorema de Stokes nos dá diretamente a integral de linha ao longo da curva parametrizada por \gamma(t).
Se, por hipótese, você quisesse a orientação “anti-horário vista de cima” (normal apontando para cima), então deveria usar -(\mathbf S_r\times\mathbf S_t) e o resultado mudaria de sinal. Aqui sigo a parametrização fornecida e uso \mathbf S_r\times\mathbf S_t.]

Passo 6

Aplicar \nabla\times F e calcular o produto escalar (\nabla\times F)\cdot(\mathbf S_r\times\mathbf S_t), substituindo x=r\sin t, y=r\cos t, z=r^{2}\sin 2t.
Temos \nabla\times F = (-2z,\;-3x^{2},\;-1). Logo
(\nabla\times F)\cdot(\mathbf S_r\times\mathbf S_t) = (-2z)\cdot(2r^{2}\cos t) + (-3x^{2})\cdot(2r^{2}\sin t) + (-1)\cdot(-r).
Substitua x=r\sin t e z=r^{2}\sin 2t:
= -4 z r^{2}\cos t -6 x^{2} r^{2}\sin t + r.
= -4 (r^{2}\sin 2t) r^{2}\cos t -6 (r^{2}\sin^{2}t) r^{2}\sin t + r.
= -4 r^{4}\sin 2t\cos t -6 r^{4}\sin^{3}t + r.
Agora integramos sobre 0\le r\le 1, 0\le t\le 2\pi:
\iint_{S} (\nabla\times F)\cdot \mathbf n\,dS = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \bigl(-4 r^{4}\sin 2t\cos t -6 r^{4}\sin^{3}t + r\bigr)\,dr\,dt.
Faço a integração em r primeiro (pois os termos trigonométricos são independentes de r exceto pelo fator de potência):
\int_{0}^{1} r^{4}\,dr = \frac{1}{5},\qquad \int_{0}^{1} r\,dr = \frac{1}{2}.
Logo a integral fica
\int_{0}^{2\pi} \left(-4\cdot\frac{1}{5}\sin 2t\cos t -6\cdot\frac{1}{5}\sin^{3}t + \frac{1}{2}\right)\,dt.
Separe os termos:
-\frac{4}{5}\int_{0}^{2\pi}\sin 2t\cos t\,dt \;-\; \frac{6}{5}\int_{0}^{2\pi}\sin^{3}t\,dt \;+\; \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} dt.
Agora avalie cada integral em t:
  • Primeiro termo: \sin 2t\cos t = 2\sin t\cos^{2}t. Essa função tem primitiva periódica sobre [0,2\pi] e a integral sobre um período é 0. Explicitamente, com u=\cos t dá 0.
  • Segundo termo: \sin^{3}t é uma função ímpar em torno de vários pontos; em qualquer caso, sua integral em [0,2\pi] é 0 (ou use identidade de redução).
  • Terceiro termo: \displaystyle \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} dt = \frac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi.
Portanto a integral dupla reduz-se a
0 - 0 + \pi = \pi.
Como escolhemos \mathbf S_r\times\mathbf S_t (o qual aponta para baixo) que corresponde à orientação da curva dada por \gamma(t), pelo Teorema de Stokes obtemos
\oint_{C} F\cdot d\mathbf r = \pi.
Comentário final sobre o sinal: se você insiste na orientação “anti-horário visto de cima” (normal para cima), isso equivale a trocar a direção de \mathbf n\,dS, portanto trocar o sinal do resultado; nesse caso a integral seria -\pi. Aqui, seguindo estritamente a parametrização \gamma(t) dada, o valor é \pi.

Resposta

\pi

Exercícios relacionados