Questão 4. Usando o teorema de Stokes, calcule a integral de linha de campo vetorial ao longo de C onde C é orientada no sentido anti-horário quando visto de cima. \oint(y+\sin x) d x+\left(z^{2}+\cos y\right) d y+x^{3} d z onde C é a curva \gamma(t)=(\sin t, \cos t, \sin 2 t), 0 \leq t \leq 2 \pi.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
O enunciado também afirma que C é orientada no sentido anti-horário quando visto de cima.
Observação importante (informação relevante): a projeção de \gamma(t) no plano xy é (\sin t,\cos t). Se você testar rapidamente, verá que, para t aumentando, esse ponto se move para a direita a partir de (0,1) — isto é, aparenta mover-se no sentido horário quando visto de cima. Logo existe uma aparente contradição entre a orientação explicitamente dada (anti-horário vista de cima) e a orientação induzida pela parametrização \gamma(t). Vou proceder usando a parametrização \gamma(t) tal como dada (ou seja, a orientação realmente percorrida por \gamma quando t cresce), e aplicar o Teorema de Stokes respeitando a orientação da superfície que produzir a mesma fronteira orientada. Se você preferir forçar a orientação anti-horária, o resultado muda de sinal; eu explico isso no desenvolvimento.
Passo 2
Enunciado do Teorema de Stokes (forma usada aqui): se S é uma superfície orientada com fronteira \partial S=C e F é um campo vetorial suficientemente suave, então
\oint_{C} F\cdot d\mathbf r \;=\; \iint_{S} (\nabla\times F)\cdot \mathbf n\,dS,
onde \mathbf n\,dS é o elemento de área orientado (vetor normal orientado por S). Para aplicar Stokes precisamos:
calcular \nabla\times F;
escolher uma superfície S cujo contorno seja exatamente C;
usar uma parametrização de S e calcular \mathbf n\,dS (usando o produto vetorial das derivadas parciais);
integrar (\nabla\times F)\cdot(\mathbf n\,dS) sobre o domínio de parametrização.
Explicação didática curtinha: \nabla\times F mede a “rotação local” do campo; a integral dupla do rotacional sobre uma superfície dá a circulação total do campo ao longo da fronteira — é isso que Stokes transforma para nós, trocando uma complicada integral de linha por uma (às vezes) mais simples integral de superfície.
Passo 3
Calcular o rotacional \nabla\times F. Pela definição, com F=(P,Q,R),
\nabla\times F = (0-2z,\;0-3x^2,\;0-1) = (-2z,\;-3x^2,\;-1).
Explicando as componentes: a componente x do rotacional é -2z, a componente y é -3x^2 e a componente z é -1.
Passo 4
Escolha da superfície S. Queremos uma superfície cujo contorno seja exatamente a curva \gamma(t). Uma escolha simples é prender o disco unitário no plano polar e “levantar” o z de forma suave até a valor em \gamma quando r=1. Considere a parametrização
Verificação da fronteira: para r=1 obtemos \mathbf S(1,t)=(\sin t,\cos t,\sin 2t)=\gamma(t), então \partial S=C. Essa superfície é suave e simples de parametrizar; o fator r^2 foi escolhido para garantir que z vá a zero no centro r=0 e atinja o valor de \gamma na borda r=1.
Comentário de orientação (importante): a orientação induzida em C depende do sinal de \mathbf S_r\times\mathbf S_t. Como estamos usando a parametrização \gamma(t) dada (com t aumentando), tomaremos a orientação da superfície que produza exatamente essa orientação na fronteira.
Passo 5
Calcular \mathbf S_r, \mathbf S_t e o produto vetorial \mathbf S_r\times\mathbf S_t (que dá \mathbf n\,dS na forma não-normalizada).
Interpretação da orientação: a componente z desse vetor é -r, negativa para r>0. Isso significa que \mathbf S_r\times\mathbf S_t aponta para baixo (componente z negativa). A orientação de contorno induzida por esse \mathbf n\,dS corresponde exatamente à parametrização \gamma(t) tal como dada (isto é, a orientação real da curva quando t aumenta). Portanto, usando \mathbf S_r\times\mathbf S_t sem mudar o sinal, o Teorema de Stokes nos dá diretamente a integral de linha ao longo da curva parametrizada por \gamma(t).
Se, por hipótese, você quisesse a orientação “anti-horário vista de cima” (normal apontando para cima), então deveria usar -(\mathbf S_r\times\mathbf S_t) e o resultado mudaria de sinal. Aqui sigo a parametrização fornecida e uso \mathbf S_r\times\mathbf S_t.]
Passo 6
Aplicar \nabla\times F e calcular o produto escalar (\nabla\times F)\cdot(\mathbf S_r\times\mathbf S_t), substituindo x=r\sin t, y=r\cos t, z=r^{2}\sin 2t.
Primeiro termo: \sin 2t\cos t = 2\sin t\cos^{2}t. Essa função tem primitiva periódica sobre [0,2\pi] e a integral sobre um período é 0. Explicitamente, com u=\cos t dá 0.
Segundo termo: \sin^{3}t é uma função ímpar em torno de vários pontos; em qualquer caso, sua integral em [0,2\pi] é 0 (ou use identidade de redução).
Como escolhemos \mathbf S_r\times\mathbf S_t (o qual aponta para baixo) que corresponde à orientação da curva dada por \gamma(t), pelo Teorema de Stokes obtemos
\oint_{C} F\cdot d\mathbf r = \pi.
Comentário final sobre o sinal: se você insiste na orientação “anti-horário visto de cima” (normal para cima), isso equivale a trocar a direção de \mathbf n\,dS, portanto trocar o sinal do resultado; nesse caso a integral seria -\pi. Aqui, seguindo estritamente a parametrização \gamma(t) dada, o valor é \pi.