Dado o campo vetorial \vec{F} e a superfície orientada S, determine a integral de superfície de campo vetorial.
\vec{F}(x, y, z)=x^{2} \vec{\imath}+y^{2} \vec{\jmath}+z^{2} \vec{k} onde S é o bordo do cilindro de equação y^{2}+z^{2}=1 limitado entre 0 \leq x \leq 2 com orientação do vetor normal apontando na direção do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície (fluxo) do campo vetorial \vec{F} através da superfície orientada S. Dados fornecidos:
\vec{F}(x,y,z)=x^{2}\,\vec{\imath}+y^{2}\,\vec{\jmath}+z^{2}\,\vec{k}.
A superfície S é o “bordo do cilindro” de equação \,y^{2}+z^{2}=1\, limitado entre 0\leq x\leq 2. Interpretação adotada (a mais consistente com o enunciado): S é a superfície fechada que forma a fronteira do sólido cilindro (ou seja, a superfície lateral mais as duas tampas circulares em x=0 e x=2). A orientação pedida é tal que as normais das tampas estejam na direção do eixo x (orientação externa do contorno fechado). A tarefa é calcular
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S},
ou seja, o fluxo total de \vec{F} através da superfície fechada S.

Passo 2

Escolha do método: em problemas de fluxo através de uma superfície fechada (fronteira de um volume), o teorema da divergência (também chamado de teorema de Gauss) costuma ser muito mais simples do que parametrizar cada parte da superfície. Vamos usar esse teorema porque reduz o cálculo a uma integral tripla sobre o volume do cilindro e evita ter que parametrizar a superfície lateral e as duas tampas separadamente.
O teorema da divergência diz:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV,
onde V é o volume limitado por S e \nabla\cdot\vec{F} é a divergência de \vec{F}. Vou aplicar exatamente essa fórmula.

Passo 3

Calcular a divergência de \vec{F}. A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes correspondentes:
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(y^{2})+\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}).
Computando cada derivada temos
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(z^{2})=2z.
Portanto
\nabla\cdot\vec{F}=2x+2y+2z=2(x+y+z).

Passo 4

Descrever o volume V e montar a integral tripla. O volume V é o cilindro sólido
V=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le 2,\; y^{2}+z^{2}\le 1\}.
Pelo teorema da divergência,
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V} 2(x+y+z)\,dV.
Vou separar a integral em três integrais lineares:
\iiint_{V} 2(x+y+z)\,dV = 2\iiint_{V} x\,dV \;+\; 2\iiint_{V} y\,dV \;+\; 2\iiint_{V} z\,dV.

Passo 5

Argumento de simetria para as integrais de y e z. A base do cilindro no plano x= constante é o disco \{(y,z)\mid y^{2}+z^{2}\le 1\}, que é simétrico em relação às reflexões y\mapsto -y e z\mapsto -z. Assim, para cada x fixo,
\iint_{y^{2}+z^{2}\le 1} y\,dA = 0,\qquad \iint_{y^{2}+z^{2}\le 1} z\,dA = 0,
porque y e z são funções ímpares nas respectivas direções sobre um domínio simétrico. Integrando também em x (que é apenas um parâmetro), obtemos
\iiint_{V} y\,dV = 0,\qquad \iiint_{V} z\,dV = 0.
Portanto só sobra a integral com x:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} = 2\iiint_{V} x\,dV.

Passo 6

Calcular \displaystyle 2\iiint_{V} x\,dV. Podemos integrar primeiro sobre a seção transversal (o disco) e depois em x:
\iiint_{V} x\,dV = \int_{x=0}^{2}\left( \iint_{y^{2}+z^{2}\le 1} x\,dA \right) dx.
Aqui x é constante na integral sobre y,z, então
\iint_{y^{2}+z^{2}\le 1} x\,dA = x\cdot \iint_{y^{2}+z^{2}\le 1} 1\,dA = x\cdot(\text{área do disco de raio }1).á
A área do disco é \pi\cdot 1^{2}=\pi. Assim
\iiint_{V} x\,dV = \int_{0}^{2} x\cdot \pi \, dx = \pi \int_{0}^{2} x\,dx.
Calcule a integral em x:
\pi \int_{0}^{2} x\,dx = \pi\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \pi\cdot\frac{4}{2} = \pi\cdot 2 = 2\pi.
Finalmente multiplicamos por 2 (lembrando que o integrando original tinha fator 2):
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} = 2\cdot \iiint_{V} x\,dV = 2\cdot (2\pi) = 4\pi.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: o termo da divergência que sobreviveu foi 2x porque os termos com y e z se cancelam por simetria. O resultado 4\pi é o fluxo total saindo da superfície fechada do cilindro com a orientação natural (normais externas), compatível com a descrição das tampas apontando ao longo do eixo x.

Resposta

\;4\pi\;

Exercícios relacionados