Dado o campo vetorial
e a superfície orientada
, determine a integral de superfície de campo vetorial.
onde
é o bordo do cilindro de equação
limitado entre
com orientação do vetor normal apontando na direção do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície (fluxo) do campo vetorial
através da superfície orientada
. Dados fornecidos:
A superfície
é o “bordo do cilindro” de equação
limitado entre
. Interpretação adotada (a mais consistente com o enunciado):
é a superfície fechada que forma a fronteira do sólido cilindro (ou seja, a superfície lateral mais as duas tampas circulares em
e
). A orientação pedida é tal que as normais das tampas estejam na direção do eixo
(orientação externa do contorno fechado). A tarefa é calcular
ou seja, o fluxo total de
através da superfície fechada
.
Passo 2
Escolha do método: em problemas de fluxo através de uma superfície fechada (fronteira de um volume), o teorema da divergência (também chamado de teorema de Gauss) costuma ser muito mais simples do que parametrizar cada parte da superfície. Vamos usar esse teorema porque reduz o cálculo a uma integral tripla sobre o volume do cilindro e evita ter que parametrizar a superfície lateral e as duas tampas separadamente.
O teorema da divergência diz:
onde
é o volume limitado por
e
é a divergência de
. Vou aplicar exatamente essa fórmula.
Passo 3
Calcular a divergência de
. A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes correspondentes:
Computando cada derivada temos
Portanto
Passo 4
Descrever o volume
e montar a integral tripla. O volume
é o cilindro sólido
Pelo teorema da divergência,
Vou separar a integral em três integrais lineares:
Passo 5
Argumento de simetria para as integrais de
e
. A base do cilindro no plano
constante é o disco
, que é simétrico em relação às reflexões
e
. Assim, para cada
fixo,
porque
e
são funções ímpares nas respectivas direções sobre um domínio simétrico. Integrando também em
(que é apenas um parâmetro), obtemos
Portanto só sobra a integral com
:
Passo 6
Calcular
. Podemos integrar primeiro sobre a seção transversal (o disco) e depois em
:
Aqui
é constante na integral sobre
, então
A área do disco é
. Assim
Calcule a integral em
:
Finalmente multiplicamos por 2 (lembrando que o integrando original tinha fator 2):
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida: o termo da divergência que sobreviveu foi
porque os termos com
e
se cancelam por simetria. O resultado
é o fluxo total saindo da superfície fechada do cilindro com a orientação natural (normais externas), compatível com a descrição das tampas apontando ao longo do eixo
.