Em cada um dos itens abaixo, faça o que se pede.
- Mostre que a equação diferencial dada possui um ponto singular regular em
.
- Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
- Encontre a solução em série de potências para
correspondente à maior raiz.
- Se as raízes não forem iguais e não diferem por um inteiro, encontre também a solução em série correspondente a menor raiz.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Equação diferencial dada:
- Perguntas:
- Mostrar que a equação possui um ponto singular regular em
. - Determinar a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
- Encontrar a solução em série de potências para
correspondente à maior raiz. - Se as raízes não forem iguais e não diferirem por um inteiro, obter também a solução em série correspondente à menor raiz.
- Mostrar que a equação possui um ponto singular regular em
Informações relevantes fornecidas: só a própria equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes em função de
.
Passo 2
Verificar o tipo de ponto singular em
.
Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo por
(válido para
):
Denotando
e
, para testar se
é ponto singular regular, lembramos o critério (explicando devagar): um ponto
é ponto singular regular se
e
são analíticos (i.e., têm série de potências convergente) em torno de
. Aqui
, então calculamos:
A função constante
e a função
são analíticas em
. Portanto
é um ponto singular regular da equação dada.
Passo 3
Introdução do método de Frobenius (assunção para solução em série) — explicando o que fazemos e por quê.
Quando temos um ponto singular regular usa-se a forma de Frobenius: supõe-se uma solução da forma
onde
é um expoente desconhecido que será determinado pela equação indicial. Aqui
permite captar comportamento possível como
na vizinhança do ponto singular. Vamos derivar
e
(mostrando passo a passo como manipular séries):
Passo 4
Substituição na equação e obtenção da equação indicial.
Substituindo as séries em
obtemos:
Simplificando a potência de
nos dois primeiros termos:
Os dois primeiros termos têm o mesmo expoente
e somam:
Agora isolamos o termo de menor potência (o termo singular) para obter a equação indicial. Separe o termo
no primeiro somatório:
Mude o índice do segundo somatório para ter potências
: com
(para
) obtemos
Agora compare coeficientes de potências. O termo de menor potência é
cujo coeficiente deve ser zero:
Como
por hipótese, a equação indicial é
Portanto as raízes da equação indicial são
ou seja, uma raiz dupla
.
Passo 5
Determinar a relação de recorrência geral (antes de substituir
).
Voltando ao coeficiente de
(para
) obtido acima, exigimos que
Isto dá a relação de recorrência geral
Essa é a relação que determina todos os coeficientes a partir de
e do
escolhido.
Passo 6
Aplicar a relação de recorrência com a raiz maior (aqui
) e obter explicitamente a série solução.
Como a maior raiz é
, colocamos
na relação:
Computando alguns termos para ver o padrão:
Portanto, para
,
Assim a solução de Frobenius associada à raiz
é, tomando constante arbitrária
,
Observação útil (não obrigatória na prova, mas boa para reconhecer a solução): a série acima coincide com a função modificada de Bessel de primeira espécie
avaliada em
, pois
Tomando
obtemos
logo uma forma compacta da solução é
Passo 7
Sobre a segunda solução independente (quando as raízes da equação indicial são iguais).
Aqui as raízes são iguais (
). No caso de raiz dupla da equação indicial a segunda solução independente geralmente contém um termo com
multiplicando a série associada à raiz repetida. A construção explícita desta segunda solução envolve fórmulas que introduzem logaritmo (método de Frobenius para raízes repetidas) e não está solicitada pelo enunciado original salvo no caso de raízes distintas não diferirem por inteiro. Portanto não precisamos apresentar aqui a segunda solução em série; basta notar que existe uma segunda solução linearmente independente que envolve
.
Resposta
Ponto singular em
: ponto singular regular.
Equação indicial:
.
Relação de recorrência:
Raízes da equação indicial:
(raiz dupla).
Solução em série para
correspondente à maior raiz (
):
com
constante arbitrária.