Em cada um dos itens abaixo, faça o que se pede.
  • Mostre que a equação diferencial dada possui um ponto singular regular em x_{0}=0.
  • Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
  • Encontre a solução em série de potências para x>0 correspondente à maior raiz.
  • Se as raízes não forem iguais e não diferem por um inteiro, encontre também a solução em série correspondente a menor raiz.
    x y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Equação diferencial dada: x\,y''+y'-y=0.
  • Perguntas:
    1. Mostrar que a equação possui um ponto singular regular em x_{0}=0.
    2. Determinar a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
    3. Encontrar a solução em série de potências para x>0 correspondente à maior raiz.
    4. Se as raízes não forem iguais e não diferirem por um inteiro, obter também a solução em série correspondente à menor raiz.
Informações relevantes fornecidas: só a própria equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes em função de x.

Passo 2

Verificar o tipo de ponto singular em x_{0}=0.
Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo por x (válido para x\neq0):
y''+\frac{1}{x}y'-\frac{1}{x}y=0.
Denotando p(x)=\dfrac{1}{x} e q(x)=-\dfrac{1}{x}, para testar se x_{0}=0 é ponto singular regular, lembramos o critério (explicando devagar): um ponto x_{0} é ponto singular regular se (x-x_{0})p(x) e (x-x_{0})^{2}q(x) são analíticos (i.e., têm série de potências convergente) em torno de x_{0}. Aqui x_{0}=0, então calculamos:
x\,p(x)=x\cdot\frac{1}{x}=1, \qquad x^{2}q(x)=x^{2}\cdot\left(-\frac{1}{x}\right)=-x.
A função constante 1 e a função -x são analíticas em x=0. Portanto x_{0}=0 é um ponto singular regular da equação dada.

Passo 3

Introdução do método de Frobenius (assunção para solução em série) — explicando o que fazemos e por quê.
Quando temos um ponto singular regular usa-se a forma de Frobenius: supõe-se uma solução da forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+r},\qquad a_{0}\neq0,
onde r é um expoente desconhecido que será determinado pela equação indicial. Aqui r permite captar comportamento possível como x^{r} na vizinhança do ponto singular. Vamos derivar y' e y'' (mostrando passo a passo como manipular séries):
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)a_{n}x^{n+r-1}, \qquad y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)a_{n}x^{n+r-2}.

Passo 4

Substituição na equação e obtenção da equação indicial.
Substituindo as séries em \;x\,y''+y'-y=0\; obtemos:
x\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)a_{n}x^{n+r-2} +\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)a_{n}x^{n+r-1} -\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+r}=0.
Simplificando a potência de x nos dois primeiros termos:
\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)a_{n}x^{n+r-1} +\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)a_{n}x^{n+r-1} -\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+r}=0.
Os dois primeiros termos têm o mesmo expoente x^{n+r-1} e somam:
\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)^{2}a_{n}x^{n+r-1}-\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+r}=0.
Agora isolamos o termo de menor potência (o termo singular) para obter a equação indicial. Separe o termo n=0 no primeiro somatório:
r^{2}a_{0}x^{r-1}+\sum_{n=1}^{\infty}(n+r)^{2}a_{n}x^{n+r-1}-\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+r}=0.
Mude o índice do segundo somatório para ter potências x^{m+r}: com m=n-1 (para n\ge1) obtemos
r^{2}a_{0}x^{r-1}+\sum_{m=0}^{\infty}(m+1+r)^{2}a_{m+1}x^{m+r}-\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}x^{m+r}=0.
Agora compare coeficientes de potências. O termo de menor potência é x^{r-1} cujo coeficiente deve ser zero:
r^{2}a_{0}=0.
Como a_{0}\neq0 por hipótese, a equação indicial é
r^{2}=0.
Portanto as raízes da equação indicial são
r_{1}=0,\qquad r_{2}=0,
ou seja, uma raiz dupla r=0.

Passo 5

Determinar a relação de recorrência geral (antes de substituir r).
Voltando ao coeficiente de x^{m+r} (para m\ge0) obtido acima, exigimos que
(m+1+r)^{2}a_{m+1}-a_{m}=0,\qquad m\ge0.
Isto dá a relação de recorrência geral
a_{m+1}=\frac{a_{m}}{(m+1+r)^{2}},\qquad m\ge0.
Essa é a relação que determina todos os coeficientes a partir de a_{0} e do r escolhido.

Passo 6

Aplicar a relação de recorrência com a raiz maior (aqui r_{1}=0) e obter explicitamente a série solução.
Como a maior raiz é r=0, colocamos r=0 na relação:
a_{m+1}=\frac{a_{m}}{(m+1)^{2}},\qquad m\ge0.
Computando alguns termos para ver o padrão:
a_{1}=\frac{a_{0}}{1^{2}}=a_{0}, \qquad a_{2}=\frac{a_{1}}{2^{2}}=\frac{a_{0}}{2^{2}}, \qquad a_{3}=\frac{a_{2}}{3^{2}}=\frac{a_{0}}{2^{2}\,3^{2}}, \\ \ldots
Portanto, para n\ge0,
a_{n}=\frac{a_{0}}{(n!)^{2}}.
Assim a solução de Frobenius associada à raiz r=0 é, tomando constante arbitrária C=a_{0},
y_{1}(x)=C\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{(n!)^{2}}.
Observação útil (não obrigatória na prova, mas boa para reconhecer a solução): a série acima coincide com a função modificada de Bessel de primeira espécie I_{0} avaliada em 2\sqrt{x}, pois
I_{0}(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z/2)^{2n}}{(n!)^{2}}.
Tomando z=2\sqrt{x} obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{(n!)^{2}}=I_{0}\!\bigl(2\sqrt{x}\bigr),
logo uma forma compacta da solução é
y_{1}(x)=C\,I_{0}\!\bigl(2\sqrt{x}\bigr).

Passo 7

Sobre a segunda solução independente (quando as raízes da equação indicial são iguais).
Aqui as raízes são iguais ( r_{1}=r_{2}=0). No caso de raiz dupla da equação indicial a segunda solução independente geralmente contém um termo com \ln x multiplicando a série associada à raiz repetida. A construção explícita desta segunda solução envolve fórmulas que introduzem logaritmo (método de Frobenius para raízes repetidas) e não está solicitada pelo enunciado original salvo no caso de raízes distintas não diferirem por inteiro. Portanto não precisamos apresentar aqui a segunda solução em série; basta notar que existe uma segunda solução linearmente independente que envolve \ln x.

Resposta

Ponto singular em x_{0}=0: ponto singular regular.
Equação indicial: r^{2}=0.
Relação de recorrência: \displaystyle a_{m+1}=\frac{a_{m}}{(m+1+r)^{2}},\\ m\ge0.
Raízes da equação indicial: r_{1}=0,\\ r_{2}=0 (raiz dupla).
Solução em série para x>0 correspondente à maior raiz ( r=0):
y(x)=C\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{(n!)^{2}}=C\,I_{0}\!\bigl(2\sqrt{x}\bigr),
com C constante arbitrária.

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