Em cada um dos itens abaixo, faça o que se pede.
  • Mostre que a equação diferencial dada possui um ponto singular regular em x_{0}=0.
  • Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
  • Encontre a solução em série de potências para x>0 correspondente à maior raiz.
  • Se as raízes não forem iguais e não diferem por um inteiro, encontre também a solução em série correspondente a menor raiz.
    x y^{\prime \prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre a equação diferencial
x y'' + y = 0.
Vou listar claramente o que é solicitado e quais informações temos:
  • Mostrar que a equação tem um ponto singular regular em x_0=0.
  • Determinar a equação indicial, a relação de recorrência entre os coeficientes da série e as raízes da equação indicial.
  • Encontrar a solução em série de potências para x>0 correspondente à maior raiz da equação indicial.
  • Se as raízes forem distintas e NÃO diferirem por um inteiro, também encontrar a solução em série correspondente à menor raiz.
Informações iniciais dados pelo enunciado:
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes racionais em x: x y'' + y=0.
  • O ponto de interesse é x_0=0.

Passo 2

Mostrar que x_0=0 é um ponto singular regular.
Primeiro escrever a equação na forma padrão
y'' + p(x)y' + q(x)y = 0.
Dividindo por x (para x\neq0) obtemos
y'' + 0\cdot y' + \frac{1}{x}y = 0.
Logo
p(x)=0,\qquad q(x)=\frac{1}{x}.
A definição prática de ponto singular regular em x_0=0 diz: x_0 é singular se p(x) ou q(x) têm polo em x_0; é regular se (x-0)p(x) e (x-0)^2 q(x) são analíticas (holomorfas) em x_0. Calcular:
x p(x) = x\cdot 0 = 0 \quad\text{(analítica)},í
x^2 q(x) = x^2\cdot\frac{1}{x} = x \quad\text{(analítica em }x=0).í
Como ambos são analíticos em x=0, concluímos que x_0=0 é um ponto singular regular.

Passo 3

Introdução ao método de Frobenius (explicação didática curta).
Quando temos um ponto singular regular, buscamos soluções do tipo de Frobenius:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r},\qquad a_0\neq0,
onde r é um número a determinar (raízes da equação indicial). A ideia: plugamos essa série na equação diferencial, igualamos o coeficiente do menor expoente a zero para obter a equação indicial (que determina r), e então obtemos uma recorrência para os a_n.

Passo 4

Aplicar Frobenius: calcular derivadas e substituir.
Assuma
y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r}.
Então
y'=\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)a_n x^{n+r-1},
y''=\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1)a_n x^{n+r-2}.
Substituindo em x y''+y=0:
x\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1)a_n x^{n+r-2}+\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r}=0.
Simplificando as potências:
\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1)a_n x^{n+r-1}+\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r}=0.
Para combinar somas numa mesma potência, escrevemos a segunda soma com índice deslocado: em vez de n use n+1 para obter potências x^{n+r-1}. Faça isso explicitamente:
\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1)a_n x^{n+r-1}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^{n+r-1}=0.
Separe o primeiro termo da primeira soma ( n=0) e junte os demais termos com mesmo expoente. O termo de menor potência é x^{r-1} (quando n=0):
coeficiente de x^{r-1}:
r(r-1)a_0 = 0.
Isso é a equação indicial. Para os termos com expoentes x^{n+r-1} com n\ge1, a condição de cancelamento dos coeficientes dá:
(n+r)(n+r-1)a_n + a_{n-1}=0,\qquad n\ge1.

Passo 5

Escrever claramente a equação indicial, a relação de recorrência e encontrar as raízes.
  • Equação indicial:
r(r-1)=0.
  • Raízes da equação indicial:
r_1=1,\qquad r_2=0.
  • Relação de recorrência (válida para n\ge1):
a_n = -\frac{a_{n-1}}{(n+r)(n+r-1)}.
Isto define todos os a_n em termos de a_0, desde que os denominadores não sejam zero.

Passo 6

Construir a solução correspondente à maior raiz r_1=1 (passo a passo, com alguns termos e a forma geral).
Escolha r=1. A recorrência fica
a_n = -\frac{a_{n-1}}{(n+1)(n)} \qquad (n\ge1).
Vamos calcular alguns coeficientes para ficar claro:
  • Para n=1:
a_1 = -\frac{a_0}{(1+1)(1)} = -\frac{a_0}{2}.
  • Para n=2:
a_2 = -\frac{a_1}{(2+1)(2)} = -\frac{(-a_0/2)}{3\cdot2} = \frac{a_0}{12}.
  • Para n=3:
a_3 = -\frac{a_2}{(3+1)(3)} = -\frac{a_0/12}{4\cdot3} = -\frac{a_0}{144}.
Observando o padrão, podemos escrever a fórmula geral para n\ge0 (produto telescópico):
a_n = (-1)^n \frac{a_0}{\prod_{k=1}^n k(k+1)}.
Mas
\prod_{k=1}^n k = n!,\qquad \prod_{k=1}^n (k+1) = \frac{(n+1)!}{1!}=(n+1)!,
logo
\prod_{k=1}^n k(k+1)=n!(n+1)!.
Assim
a_n = (-1)^n \frac{a_0}{n!(n+1)!}.
Portanto a solução de Frobenius correspondente a r=1 é (tomando a_0 como constante arbitrária de normalização)
y_1(x) = a_0 x^{1}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{n}}{n!(n+1)!} = a_0\, x \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{n}}{n!(n+1)!}.
Pode-se escolher a_0=1 para uma forma simplificada:
y_1(x)=x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^n}{n!(n+1)!}.
Essa série converge para todo x (série com termos que caem fortemente), e dá a solução procurada para x>0.

Passo 7

Sobre a segunda solução (correspondente à menor raiz r_2=0).
As raízes encontradas são r_1=1 e r_2=0. Elas são distintas, mas a diferença é r_1-r_2=1, que é um inteiro positivo. O enunciado pedia para encontrar a segunda solução em série somente no caso em que as raízes não diferem por um inteiro. Como aqui diferem por inteiro, a construção direta de outra solução por Frobenius pode falhar (a recorrência dá denominador zero em n=1 quando r=0) e a segunda solução geralmente contém um termo com \ln x. Portanto não se aplica o caso simples pedido (raízes distintas e não diferindo por inteiro), e não apresento aqui uma série de Puiseux sem logaritmo para r=0. Se for desejado, posso construir explicitamente a segunda solução envolvendo \ln x, mas isto foge ao caso pedido.

Resposta

Ponto singular regular em x_0=0.
Equação indicial: r(r-1)=0.
Relação de recorrência: a_n = -\dfrac{a_{n-1}}{(n+r)(n+r-1)} para n\ge1.
Raízes da equação indicial: r_1=1 e r_2=0.
Solução correspondente à maior raiz r=1:
y_1(x)=a_0\,x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{n}}{n!(n+1)!}\quad(\text{normalização usual: }a_0=1).çã
As raízes diferem por um inteiro ( 1-0=1), portanto o caso “raízes distintas e que não diferem por inteiro” não se aplica e a segunda solução simples em série sem logaritmo não existe; a segunda solução envolve termo em \ln x.

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