Em cada um dos itens abaixo, faça o que se pede.
- Mostre que a equação diferencial dada possui um ponto singular regular em
.
- Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
- Encontre a solução em série de potências para
correspondente à maior raiz.
- Se as raízes não forem iguais e não diferem por um inteiro, encontre também a solução em série correspondente a menor raiz.
Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre a equação diferencial
Vou listar claramente o que é solicitado e quais informações temos:
- Mostrar que a equação tem um ponto singular regular em
. - Determinar a equação indicial, a relação de recorrência entre os coeficientes da série e as raízes da equação indicial.
- Encontrar a solução em série de potências para
correspondente à maior raiz da equação indicial. - Se as raízes forem distintas e NÃO diferirem por um inteiro, também encontrar a solução em série correspondente à menor raiz.
Informações iniciais dados pelo enunciado:
- A equação é linear de segunda ordem com coeficientes racionais em
: . - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Mostrar que
é um ponto singular regular.
Primeiro escrever a equação na forma padrão
Primeiro escrever a equação na forma padrão
Dividindo por
(para
) obtemos
Logo
A definição prática de ponto singular regular em
diz:
é singular se
ou
têm polo em
; é regular se
e
são analíticas (holomorfas) em
. Calcular:
Como ambos são analíticos em
, concluímos que
é um ponto singular regular.
Passo 3
Introdução ao método de Frobenius (explicação didática curta).
Quando temos um ponto singular regular, buscamos soluções do tipo de Frobenius:
Quando temos um ponto singular regular, buscamos soluções do tipo de Frobenius:
onde
é um número a determinar (raízes da equação indicial). A ideia: plugamos essa série na equação diferencial, igualamos o coeficiente do menor expoente a zero para obter a equação indicial (que determina
), e então obtemos uma recorrência para os
.
Passo 4
Aplicar Frobenius: calcular derivadas e substituir.
Assuma
Assuma
Então
Substituindo em
:
Simplificando as potências:
Para combinar somas numa mesma potência, escrevemos a segunda soma com índice deslocado: em vez de
use
para obter potências
. Faça isso explicitamente:
Separe o primeiro termo da primeira soma (
) e junte os demais termos com mesmo expoente. O termo de menor potência é
(quando
):
coeficiente de
:
Isso é a equação indicial. Para os termos com expoentes
com
, a condição de cancelamento dos coeficientes dá:
Passo 5
Escrever claramente a equação indicial, a relação de recorrência e encontrar as raízes.
- Equação indicial:
- Raízes da equação indicial:
- Relação de recorrência (válida para
):
Isto define todos os
em termos de
, desde que os denominadores não sejam zero.
Passo 6
Construir a solução correspondente à maior raiz
(passo a passo, com alguns termos e a forma geral).
Escolha . A recorrência fica
Escolha
Vamos calcular alguns coeficientes para ficar claro:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Observando o padrão, podemos escrever a fórmula geral para
(produto telescópico):
Mas
logo
Assim
Portanto a solução de Frobenius correspondente a
é (tomando
como constante arbitrária de normalização)
Pode-se escolher
para uma forma simplificada:
Essa série converge para todo
(série com termos que caem fortemente), e dá a solução procurada para
.
Passo 7
Sobre a segunda solução (correspondente à menor raiz
).
As raízes encontradas são e
. Elas são distintas, mas a diferença é
, que é um inteiro positivo. O enunciado pedia para encontrar a segunda solução em série somente no caso em que as raízes não diferem por um inteiro. Como aqui diferem por inteiro, a construção direta de outra solução por Frobenius pode falhar (a recorrência dá denominador zero em
quando
) e a segunda solução geralmente contém um termo com
. Portanto não se aplica o caso simples pedido (raízes distintas e não diferindo por inteiro), e não apresento aqui uma série de Puiseux sem logaritmo para
. Se for desejado, posso construir explicitamente a segunda solução envolvendo
, mas isto foge ao caso pedido.
As raízes encontradas são
Resposta
Ponto singular regular em
.
Equação indicial:
.
Relação de recorrência:
para
.
Raízes da equação indicial:
e
.
Solução correspondente à maior raiz
:
As raízes diferem por um inteiro (
), portanto o caso “raízes distintas e que não diferem por inteiro” não se aplica e a segunda solução simples em série sem logaritmo não existe; a segunda solução envolve termo em
.