Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=t

Passo 1

O enunciado dá a função f(t)=t (assumir t\ge0) e pede para encontrar a transformada de Laplace dessa função.
Informações relevantes:
  • Função dada: f(t)=t para t\ge0.
  • O objetivo é calcular \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt.
  • É necessário indicar para quais valores de s a integral converge.

Passo 2

Definição que vou usar (escrevendo o que cada símbolo significa):
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é a função de s definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt.
Aqui t é a variável real (tempo), s é uma variável complexa e a integral impropria é tomada como limite quando o ponto superior vai a \infty. A integral converge (ou seja, a transformada existe) quando a parte real de s é suficientemente grande para forçar o fator e^{-st} a dominar f(t) quando t\to\infty. No nosso caso f(t)=t, um polinômio de grau 1, então esperamos convergência para \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a integral que precisamos calcular:
\mathcal{L}\{t\}(s)=\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt.
Vamos calcular essa integral por integração por partes.

Passo 4

Relembrando a fórmula de integração por partes para integrais indefinidas:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Para a integral definida de 0 a \infty usamos a forma:
\int_{0}^{\infty} u\,dv = \left[u v\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} v\,du,
onde \left[u v\right]_{0}^{\infty}=\lim_{T\to\infty} u(T)v(T)-u(0)v(0). Vou escolher as partes de forma simples:
  • u=t então du=dt.
  • dv=e^{-s t}\,dt então v=\int e^{-s t}\,dt = -\dfrac{1}{s}e^{-s t} (assumindo s\neq0).

Passo 5

Aplicando integração por partes na integral \displaystyle\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt:
Primeiro o termo de fronteira:
\left[u v\right]_{0}^{\infty}=\lim_{T\to\infty} \left( t\cdot\left(-\dfrac{1}{s}e^{-s t}\right)\right)\Big|_{t=T} - \left( t\cdot\left(-\dfrac{1}{s}e^{-s t}\right)\right)\Big|_{t=0}.
Avaliação em t=0: -\dfrac{1}{s}\cdot 0\cdot e^{0}=0.
Avaliação no infinito: é necessário o limite \lim_{t\to\infty} t e^{-s t}. Para \operatorname{Re}(s)>0 o fator e^{-s t} decai exponencialmente e domina o fator polinomial t, logo
\lim_{t\to\infty} t e^{-s t}=0 \quad\text{se}\quad \operatorname{Re}(s)>0.
Portanto o termo de fronteira é 0-0=0.
Agora o segundo termo da fórmula:
- \int_{0}^{\infty} v\,du = -\int_{0}^{\infty} \left(-\dfrac{1}{s}e^{-s t}\right)\,dt = \dfrac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.

Passo 6

Calcular a integral remanescente:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt = \left[-\dfrac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty}.
Para \operatorname{Re}(s)>0 temos \lim_{t\to\infty} e^{-s t}=0, então
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt = 0 -\left(-\dfrac{1}{s}\right) = \dfrac{1}{s}.
Substituindo de volta:
\mathcal{L}\{t\}(s) = \dfrac{1}{s}\cdot \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{s^{2}}.
A condição de validade é \operatorname{Re}(s)>0, que garante convergência dos limites usados.

Passo 7

Resumo pedagógico e dica prática para prova:
  • Resultado: \mathcal{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}} para \operatorname{Re}(s)>0.
  • Dica rápida: memorize a fórmula geral \mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\dfrac{n!}{s^{n+1}} para n inteiro não-negativo; para n=1 isto dá \dfrac{1!}{s^{2}}=\dfrac{1}{s^{2}}. Na prova, se for permitido usar tabela, isso acelera bastante. Se não, faça uma integração por partes rápida como acima. Força aí — você consegue!

Resposta

\mathcal{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}},\\ \operatorname{Re}(s)>0

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