Aqui t é a variável real (tempo), s é uma variável complexa e a integral impropria é tomada como limite quando o ponto superior vai a \infty. A integral converge (ou seja, a transformada existe) quando a parte real de s é suficientemente grande para forçar o fator e^{-st} a dominar f(t) quando t\to\infty. No nosso caso f(t)=t, um polinômio de grau 1, então esperamos convergência para \operatorname{Re}(s)>0.
Passo 3
Escrevendo explicitamente a integral que precisamos calcular:
Avaliação em t=0: -\dfrac{1}{s}\cdot 0\cdot e^{0}=0.
Avaliação no infinito: é necessário o limite \lim_{t\to\infty} t e^{-s t}. Para \operatorname{Re}(s)>0 o fator e^{-s t} decai exponencialmente e domina o fator polinomial t, logo
\lim_{t\to\infty} t e^{-s t}=0 \quad\text{se}\quad \operatorname{Re}(s)>0.
A condição de validade é \operatorname{Re}(s)>0, que garante convergência dos limites usados.
Passo 7
Resumo pedagógico e dica prática para prova:
Resultado: \mathcal{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}} para \operatorname{Re}(s)>0.
Dica rápida: memorize a fórmula geral \mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\dfrac{n!}{s^{n+1}} para n inteiro não-negativo; para n=1 isto dá \dfrac{1!}{s^{2}}=\dfrac{1}{s^{2}}. Na prova, se for permitido usar tabela, isso acelera bastante. Se não, faça uma integração por partes rápida como acima. Força aí — você consegue!