Em cada um dos itens abaixo identifique qual 0 tipo de equação e encontre a solução geral.
\frac{d x}{d y}=\frac{y}{x} \ln \left(\frac{y}{x}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{dx}{dy}=\frac{y}{x}\,\ln\!\biggl(\frac{y}{x}\biggr),
que é homogênea de grau zero porque o lado direito depende apenas da relação \tfrac{y}{x}. Para resolver vamos usar a substituição
u = \frac{x}{y},
tornando-a numa equação separável em u e y.

Passo 2

Da definição u=x/y vem
x = u\,y \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{dx}{dy} = u + y\,\frac{du}{dy}.
No lado direito temos
\frac{y}{x}\,\ln\!\biggl(\frac{y}{x}\biggr) =\frac{y}{u\,y}\,\ln\!\Bigl(\tfrac1u\Bigr) =\frac{1}{u}\,\bigl(-\ln u\bigr) =-\frac{\ln u}{u}.
Logo a equação fica
u + y\,\frac{du}{dy} \;=\;-\,\frac{\ln u}{u}.

Passo 3

Isolando o termo com du/dy, obtemos
y\,\frac{du}{dy} =-\frac{\ln u}{u}-u =-\frac{\ln u + u^2}{u} \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dy} =-\frac{\ln u + u^2}{u\,y}.
Reescrevendo em forma separável:
-\frac{u}{\ln u + u^2}\,du = \frac{dy}{y}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int -\frac{u}{\ln u + u^2}\,du \;=\;\int \frac{dy}{y} \quad\Longrightarrow\quad -\!\int \frac{u}{u^2+\ln u}\,du =\ln\bigl|y\bigr| + C.
Voltando à variável original x/y=u, a solução geral fica dada implicitamente por
-\int \frac{u}{u^2+\ln u}\,du =\ln\bigl|y\bigr| + C, \qquad u=\frac{x}{y}.

Resposta

A equação é homogênea de grau zero. A solução geral aparece implicitamente como
-\int \frac{u}{u^2+\ln u}\,du =\ln\bigl|y\bigr| + C, \qquad u=\frac{x}{y}.

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