Em cada um dos itens abaixo identifique qual 0 tipo de equação e encontre a solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
onde a variável independente é
e a dependente é
. O que vamos usar é o método de equação homogênea de primeira ordem, pois todos os termos são homogêneos de grau 1 em
e
.
Passo 2
Reescrevemos a equação isolando
:
Como o membro direito é função de
, confirmamos que é uma equação homogênea.
Passo 3
Fazemos a substituição usual para homogêneas, colocando
Mas como temos
, é mais simples inverter:
e então substituímos
dentro desse
.
Passo 4
Substituindo
e
em
, obtemos
Multiplicando em cruz e reorganizando, chega-se a
Logo a equação separável final é
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Essa integral em
não tem forma elementar simples, então ficamos com a solução implícita
onde lembramos que
.
Resposta
A equação é de primeira ordem e homogênea. Sua solução geral, de forma implícita, é