Em cada um dos itens abaixo identifique qual 0 tipo de equação e encontre a solução geral.
x \frac{d x}{d y}-y=\sqrt{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x \,\frac{d x}{d y} \;-\; y \;=\;\sqrt{x^{2}+y^{2}}
onde a variável independente é y e a dependente é x(y). O que vamos usar é o método de equação homogênea de primeira ordem, pois todos os termos são homogêneos de grau 1 em x e y.

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando \dfrac{d x}{d y}:
x\,\frac{d x}{d y} = y + \sqrt{x^{2}+y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d x}{d y} = \frac{y + \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}.
Como o membro direito é função de \frac{y}{x}, confirmamos que é uma equação homogênea.

Passo 3

Fazemos a substituição usual para homogêneas, colocando
v=\frac{y}{x} \quad\Longrightarrow\quad y=v\,x \quad\Longrightarrow\quad \frac{d y}{d x} =v + x\,\frac{d v}{d x}.
Mas como temos \dfrac{d x}{d y}, é mais simples inverter:
\frac{d y}{d x} =\frac{1}{\frac{d x}{d y}} =\frac{x}{y + \sqrt{x^{2}+y^{2}}}
e então substituímos y=v\,x dentro desse \dfrac{d y}{d x}.

Passo 4

Substituindo y=v\,x e \sqrt{x^{2}+y^{2}}=x\sqrt{1+v^{2}} em \dfrac{d y}{d x} = \frac{x}{y + \sqrt{x^{2}+y^{2}}}, obtemos
v + x\,\frac{d v}{d x} = \frac{x}{v\,x + x\sqrt{1+v^{2}}} = \frac{1}{v + \sqrt{1+v^{2}}}
Multiplicando em cruz e reorganizando, chega-se a
x\,\frac{d v}{d x} = \frac{1}{v + \sqrt{1+v^{2}}} \;-\; v = \frac{\sqrt{1+v^{2}} - 2v}{v + \sqrt{1+v^{2}}}\,\frac{v + \sqrt{1+v^{2}}}{v + \sqrt{1+v^{2}}} = \sqrt{1+v^{2}} - 2v.
Logo a equação separável final é
\frac{d v}{\sqrt{1+v^{2}} - 2v} =\frac{d x}{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int \frac{d v}{\sqrt{1+v^{2}} - 2v} = \int \frac{d x}{x} \;\Longrightarrow\; \int \frac{d v}{\sqrt{1+v^{2}} - 2v} = \ln\lvert x\rvert + C.
Essa integral em v não tem forma elementar simples, então ficamos com a solução implícita
\boxed{ \int \frac{d\bigl(\frac{y}{x}\bigr)}{\sqrt{1+\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^{2}} \;-\;2\,\tfrac{y}{x}} \;=\;\ln\lvert x\rvert + C, }
onde lembramos que v=y/x.

Resposta

A equação é de primeira ordem e homogênea. Sua solução geral, de forma implícita, é
\int \frac{d\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)}{\sqrt{1+\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^{2}} - 2\,\tfrac{y}{x}} =\ln\lvert x\rvert + C.

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