Verifique que as equaçōes abaixo nåo såo exatas.
x y+\left(2 x^{2}+3 y^{2}-20\right) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x\,y + \bigl(2x^{2}+3y^{2}-20\bigr)\frac{dy}{dx}=0
Podemos reescrevê-la na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
onde
M(x,y)=x\,y \quad\text{e}\quad N(x,y)=2x^{2}+3y^{2}-20.
Para ser exata, deve valer
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x\,y) =x,
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}+3y^{2}-20\bigr) =4x.

Passo 3

Como
\frac{\partial M}{\partial y}=x \quad\neq\quad 4x=\frac{\partial N}{\partial x},
a condição de exatidão não se cumpre.

Resposta

A equação diferencial não é exata, pois \partial M/\partial y = x\neq4x=\partial N/\partial x.

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